木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 第四章高等代数 1.两个置要极限 li lim(1+-)2=e=2.718281828459045 2.甚本导数公式 ) (cotx)'=-cSc x (arccos x)= (cscx)=-cScxcotx (arctan x) (a)=a Ina (arce tan x)= (log x)= 1+x 3.一些初等函数 双曲正弦:shx= 双曲余弦:chx e+e-r 曲 arshx=ln(x+√x2+1 chx ete arch=±ln(x+√x2-1), arth=ln 1+x 4.三角函数公式: ·诱导公式 函数 ot 角A cOSa -tand -coto 90°-a sInd tana 90°+a coso -coto tand 180°a sIna 180°+a -cosa tana cota -cosa cota tand sInd -cota tang -sina tand -coto 360°+a sInd COSa tand cota sin( a+ B)= sin a cos B+ cos a sin B sin a sin B= 2 sin a+E cos a-A cos( a t B)=cos a cos B f sin a sin B B) a±tanB sin a- sin B=2 cos I f tan a. tan B coa±B)=如na如B和l cos a tanB±tana cos a-cos B =-2 sin 和差角公式 和差化积公式
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 第四章 高等代数 1．两个重要极限： .2) 7182818284 ..59045 1 1(lim 1 sin lim0 ==+ = ∞→ → e x x x x x x 2．基本导数公式： x a x aaa xxx xxx xx xx a xx ln 1 )(log ln)( cotcsc)(csc tansec)(sec csc)(cot sec)(tan 2 2 ′ = ′ = ′ ⋅−= ′ ⋅= ′ −= ′ = 2 2 2 2 1 1 )tan( 1 1 )(arctan 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x xarcc x x x x x x + ′ −= + ′ = − ′ −= − ′ = 3．一些初等函数： 双曲正弦： , 2 x x e e shx − − = 双曲余弦： 2 x x e e chx − + = 双曲正切： 2 , ln( x x x x shx e e arshx x x 1 chx e e − − − = = =++ + thx ） 2 1 1 ln( 1), ln 2 1 x archx x x arthx x + =± + − = − 4．三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tan cot -α -sinα cosα -tanα -cotα 90°-α cosα sinα cotα tanα 90°+α cosα -sinα -cotα -tanα 180°-α sinα -cosα -tanα -cotα 180°+α -sinα -cosα tanα cotα 270°-α -cosα -sinα cotα tanα 270°+α -cosα sinα -cotα -tanα 360°-α -sinα cosα -tanα -cotα 360°+α sinα cosα tanα cotα 14 ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 cos cos sin2 2 cos 2 cos cos cos2 2 sin 2 sin sin cos2 2 cos 2 sin sin sin2 βαβα βα βαβα βα βαβα βα α β α β βα + − − −= + − + = + − − = + − α β α β α + = αβ βα βα βα βα βα βα βαβα tan tan 1tantan cot( ) tantan1 tan tan tan( ) cos( coscos) sinsin sin( cossin) sincos ± ⋅ =± ⋅ ± =± =± =± ± m m m β
木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 ·倍角公式 sin 2a=2 sin a cos a cos 2a=2 cos2 a-1=1-2sin a= cos 2 a-sin2a cot 2as tan a-1 2 tan a tan 2 2 tan a 1-tan'a 半角公式: cosa 1+cosa 1+cosa 1+cosa +cosa sina 正弦定理 ·余弦定理:c2=a2+b2-2 ab cos c 反三角函数性质: arctan=T arc cot x 5.高阶导数公式—莱布尼兹( Leibniz)公式 ()=∑Cany“ (m)y+ nu (-)y+(n-1)n(m2 n(n-1)(-k+1)2(-ny()+…+m(o) 2! k 6.中值定理与导数应用 拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f()(b-a) 柯西中值定理:f(b)-f(a)f() F(6-F(a F'(s 当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 7.曲率 弧微分公式:d=√+y2,其中y=ga 平均曲率:K=Aa△a:从M点到M'点,切线斜率的倾角变化量:As:M弧长 M点的曲率:K=1im △ a da d 直线:K=0;半径为a的圆:K= 8.泰勒公式 设函数∫(x)在区间(a,b)内具有n+1阶导数,x0∈(a,b),则在区间(a,b)内,f(x)可表为 f(x)=(xo)+(oXx-x, )+/(xo) f"(x0) (x-x0)2+…+ (x-x0)”+Rn(x) 其中Rn(x) (x-x0),5是介于x0和x之间的某个数
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 15 ·倍角公式： αα ααα α α α 2 2 2 2 sincossin211cos22cos cossin2 −=−=−= 2sin = α α α α α α 2 2 tan1 tan2 2tan, tan2 1tan 2cot − = − = ·半角公式： α α α α α α α α α α α α α α α α α α cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 cot, cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 tan 2 cos1 2 , cos 2 cos1 2 sin − = + = − + ±= + = − = + − ±= + ±= − ±= R C c B b A a 2 sinsinsin ·正弦定理： === ·余弦定理： ·反三角函数性质： cos2 Cabbac 222 −+= x x cot xarcx 2 arccos arctan 2 arcsin −= −= π π 5．高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： )( )1( )2( )()( )( 0 )( )()( ! )1()1( !2 )1( )( n n n kkn n n k kknk n n vu uv k knnn vu nn vnuvu uv vuC ++ +−− ′′ ++ − += ′ + = − − − = − ∑ L L L 6．中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理： f ( ) b − fa f b a ( ) ( )( ) = − ′ ξ 柯西中值定理： f b( ) () () () () () fa f Fb Fa F − ′ ξ ξ = − ′ 当 F( ) x = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 7．曲率： 弧微分公式： 2 ds y dx y tg =+ = 1 , ′ ′ 其中 α K . s Δα = Δ 平均曲率： Δα :从 点到 M M′点，切线斜率的倾角变化量； Δs：MM′弧长。 M 点的曲率： 0 2 3 lim . (1 ) s d y K s ds y α α Δ → Δ ′′ = == Δ + ′ 直线： K = 0; 半径为 的圆： a 1 K . a = 8．泰勒公式 设函数 在区间 内具有 xf )( ba ),( n +1阶导数， ),( 0 ∈ bax ，则在区间 内， 可表为 ba ),( xf )( )()( ! )( )( !2 )( ))(()()( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n ++− +− ′′ += ′ +− L 。 其中 1 0 )1( )( )!1( )( )( + + − + = n n n xx n f xR ξ ，ξ 是介于 和0 x x 之间的某个数
水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-627010558237805地址:清华同方科技广场B座609室 Rn(x)称为n阶泰勒余项(具有拉格朗日形式的余项)。 x0=0时的泰勒公式叫做麦克劳林公式,即 f"(0) f(x)=f(0)+f(0)x+-2 其中在0与x之间。 具有皮亚诺余项形式的泰勒公式为(此时,只要求函数f(x)在区间(a,b)内具有n阶导数)为 f(x)=f(x)+f(x0x-'(x) X-x X-x 其中o(x")为x"的高阶无穷小量,要求f(x)具有n阶导数。这是不同于拉格朗日余项形的n阶泰勒公 之处。 读者应该熟悉五类基本初等函数在x=0处的n阶泰勒公式(5在0与x之间) (1)e2=1+x+x2+…+x”+Rn(x),其中Rn(x)= x∈(-∞,+c +1 p) (2)sinx=x-x3+x3-…+(-1 (2-)2+B2m(x), 其中R2n1(x)=sin(5+nn)x2,x∈(-∞,+∞) (2m) x-…+(-1) 其中R2n(x)= x∈(-0,+0 (2n+1) (4)(1+x)=1+an+a-1) 3+E2n(x), a(a-1)…(a-n+1 +r, (x) 其中R(x)=2(=D)(a-m) (1+5)2-nx x∈(-1,+∞),a∈(-∞,+∞) (n+1)! (5)ln(1+x)=x-x2+x3-…+(-1)“-x"+Rn(x) 其中R(x)=(-1) x∈(-1,+∞) (n+1)(1+5) 9.无穷小量比阶 设a(x)与B(x)为某种趋向x→()时的无穷小量,若满足加D<(3)P x-0)B(x) 则(1)当H≠0时,称a(x)与B(x)为同阶无穷小量(x→()),特别=1时,称a(x)与(x) 等价无穷小量(x→(),可记为a(x)~B(x)
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 16 称为 阶泰勒余项(具有拉格朗日形式的余项)。 时的泰勒公式叫做麦克劳林公式，即 n xR )( n x0 = 0 1 )( )1( 2 )!1( )( ! )0( !2 )0( )0()0()( + + + ++ + ′′ += ′ + n n n n x n f x n f x f xffxf ξ L 其中ξ 在 与0 x 之间。 具有皮亚诺余项形式的泰勒公式为(此时, 只要求函数 在区间 内具有 阶导数)为: xf )( ba ),( n ))(()( ! )( )( !2 )( ))(()()( 0 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 n n n xxoxx n xf xx xf xxxfxfxf ++− −+− ′′ += ′ +− L 其中 为 的高阶无穷小量，要求 具有 阶导数。这是不同于拉格朗日余项形的 阶泰勒公 式之处。 )( n xo n x xf )( n n 读者应该熟悉五类基本初等函数在 x = 0处的 阶泰勒公式( n ξ 在 0 与 x 之间) (1) ),( , )!1( 1 )( 1 +∞−∞∈ + = + xxe n xR n n ξ )( ! 1 !2 1 1 2 xRx n xxe n x n = L +++++ ，其中 。 (2) )( )!12( 1 )1( !5 1 !3 1 sin 12 53 1 12 xRx n xxxx n n n − − − + − L −+−+−= ， 其中 ),( ,)sin( )!2( 1 )( 2 −12 = + xxn +∞−∞∈ n xR n n πξ 。 (3) )( )!2( 1 )1( !4 1 !2 1 1cos 2 2 4 2 xRx n xxx n n n L −+−+−= + ， 其中 ),( ,) 2 12 cos( )!12( 1 )( 12 2 +∞−∞∈ + + + = + xx n n xR n n πξ 。 (4) )( ! )1()1( !2 )1( 1)1( 2 xRx n n xx x n n + − − + ++ − ++=+ α α α α α α α L L ， 其中 ),(),,1( ,)1( )!1( )()1( )( 11 + +∞−∞∈+∞−∈ + −− = +−− ξ α α α α α xx n n xR nn n L 。 (5) )( 1 )1( 3 1 2 1 )1ln( 2 3 1 xRx n xxxx n n n +⋅−+−+−=+ L − ， 其中 ),1( , )1)(1( 1 )1()( 1 +∞−∈ ++ −= + x n xR n n n ξ 9．无穷小量比阶 设 为某种趋向 时的无穷小量，若满足 x ⋅→ )( μ β α = ⋅→ )( )( lim )( x x x α x)( 与 β x)( 则 (1) 当 μ ≠ 0 时，称α x)( 与 β x)( 为同阶无穷小量（ x → ⋅)( ），特别 μ = 1 时，称α x)( 与 β x)( 为 等价无穷小量（ x → (⋅) ），可记为α(x) β x)(~
木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 (2)当H=0时,称a(x)是比B(x)高阶的无穷小量(x→()。 (3)当H=∞时,称a(x)是比B(x)低阶的无穷小量(x→()) 常用等价无穷小量( x- sinx tanx -In(1+x cos x-x xIn aa>o (x+ A∈R 注:(1)以上 等价关系可在广义 下应用,即等价关系中的X在应用中常换为满足 lima(x)=0的某个a(x) (2)在极限运算中,可以用等价无穷小量进行替换,但必须注意,替换只能在因子位置上进行,因 等价无穷小量是用因子乘积a(x) 定义的 p(x) 10.基本积分表 dx=In ln In/secx+tan x x+C dx 1 a+x d x 2 11x-2+ arcsin -+C dx sec- xdx= tanx+C dx 2x secx. tan xdx= secx+C C cScx· cot xdx=-cscx+C shxdx chx+C
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 17 （2）当 μ = 0 时，称α x)( 是比 β x)( 高阶的无穷小量（ x → ⋅)( ）。 （3）当 μ ∞= 时，称α x)( 是比 β x)( 低阶的无穷小量（ x → ⋅)( ）。 常用等价无穷小量（ ） 广义 下应用，即等价关系中的 x → 0 x + x)1ln(~tanx~sinx~ 1 2 − ~cos1 xx ax x ln a > 0 xe x − ~1 x λx λ −+ ~1)1( R 2 a − ~1 注： （1）以上 等价关系可在 x 在应用中常换为满足 (lim)( = x ⋅→ α x) 0 的某个α x)( 。 （2）在极限运算中，可以用等价无穷小量进行替换，但必须注意，替换只能在因子位置上进行，因 等价无穷小量是用因子乘积 β x)( 1 α x)( ⋅ 定义的。 10．基本积分表： 不定积分： ； ； = Cdx ∫ 0 += Cxdx ∫1 C a x a a +1 dxx + + = ∫ 1 ； Cxdx x += ∫ ln 1 C a a dxa x x += ∫ ln Cedxe x x += ∫ ∫ tan xdx cosln +−= Cx ∫ cot xdx sinln x += C ∫ xdx = selnsec + tanc xx + C ∫ xdx cotcsclncsc +−= Cxx ∫ ∫ + + − = − = + + C ax ax ax a dx C a x xa a dx ln 2 1 arctan 1 22 22 C a x xa dx C xa xa axa dx += − + − + = − ∫ ∫ arcsin ln 2 1 22 22 ∫ ∫ ∫ ∫ = −= + Cx = += xdx x dx Cxxdx x dx csc cot sin sec tan cos 2 2 2 2 ∫ ∫ +−=⋅ +=⋅ xdxx Cx Cxdxxx cotcsc csc tansec sec ∫ ∫ += += Cchxshxdx C a a dxa x x ln ∫ ∫ +±+= ± += Caxx ax dx Cshxchxdx ln( ) 22 22 λ ∈ 3 6 1 ~sin −− xxx
木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 =sin”xd= cos"xdx="lm 下h=2=a-中 +√x2-a2+C Jva'-x'dx=va2-x2+g-arcsin+C b-a f(x)dx (y+yn)+2(y2 V1+ y3 18
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 18 2 0 2 0 1 sin cos − = = ∫∫ n n n n n I xdx xdx π π ＝ n−2 I ∫ +++++=+ Caxx a ax x dxax ln( ) 2 2 22 2 22 22 Caxx a ax x dxax +−+−−=− ∫ 22 2 22 22 ln 2 2 ∫ +−=− + C a xa xa x dxxa arcsin 2 2 2 22 22 ∫ − +++ +++ − +++ L y 4) − ≈ b a n n n yyyy yyy n ab dxxf (2)[( ( )] 3 )( 0 42 2 31 L 1
