木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 第五章线性代数 行列式 重要公式与结论 (1)行列式按行(列)展开定理 a1)-4+++4-14 或 +a,A2,+…+aA 即AA=AA=|4E 其中41 2=(,)=(4y (2)设A、B为n阶方阵,则AB=14B=4=1B4, 但A±B=4±B不一定成 (3)k4=k4A为刀阶方阵 (4)设A为阶方阵,则1=14r|-(若A可逆)|=(n≥ A O A C A O O B 4lF,A、B为方阵 o amm=(-1 B (6)范德蒙行列式 (7)设A为n阶方阵,(=12,…,n)是A的n个特征值,则4=∏ 重要公式与结论 1)A,A-,A三者之间的关系 1)(H4=BH、=(4士8=±B2)(r)=4(4时=Br、=x 但(A±B)=A-±B-不一定成立。 3)(x)=|424(n≥3(4B=BA,i”=k"A(n22) 但(±B)=A±B不一定成立 4)(xy=()rr=r),r)=(r 31
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 第五章 线性代数 一、行列式 重要公式与结论 （1）行列式按行（列）展开定理 设 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = =+++== × ji jiA jiji AaAaAaaA jnin nn ij ,0 , 2211 L 或 ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = =+++ ji jiA AaAaAa jiji njni ,0 , 2211 L 即 == EAAAAA ∗∗ 其中 ( )( )T ji ij nn nn n n AA AAA AAA AAA A == ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =∗ L LLLL L L 21 12 22 2 11 21 1 （2）设 、BA 为 n 阶方阵，则 === BAABBAAB ， 但 ±=± BABA 不一定成 立 （3） AAkkA n = , 为 阶方阵， n （4）设 A 为 阶方阵，则 n 1 1 ; − − == AAAAT （若 A 可逆） ( 2) 1 ≥= ∗ − nAA n （5） BA BC OA BO CA BO OA === , 、BA 为方阵 ， 但 ( ) BA .1 OB AO mn nn mm ⋅−= × × （6）范德蒙行列式 ∏( ) ≤<≤ −− − = −= nij ji n n nn n n xx xxx xxx D 1 1 1 2 1 1 21 111 L LLLL L L （7）设 A 为 阶方阵， n ( ni i λ = L,,2,1 ) 是 A 的 个特征值，则 n ∏= = n i A i 1 λ 二、矩阵 重要公式与结论 （1） 三者之间的关系 ∗− AAAT ,, 1 1）( ) ( ) () ( ) T TT T T T TT 2） T T , = ,, ±=±= BABAkAkAABABA ( ) ( ) () 1 11 1 1 1 1 1 , , − −− − − − − == = A k kAABABAA 但( )−1 ±=± BABA −− 11 不一定成立。 3）( ) ( )( ) ( ) ( ,3 , 2 1 2 = ≥ = = ≥ − ∗ ∗∗ ∗ ∗− ∗ ∗ nAkkAABABnAAA n n ) 但( ) ∗∗ 不一定成立 ∗ ±=± BABA 4）( ) ( )( ) ( )() ( ) ∗ ∗ − ∗ ∗ − − − = = = T T T T , , AAAAAA 1 1 1 1 31
木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 (2)有关A的结论 )A=AA=4E2)r2矿=k(r)和m≥3 3)若A可迎,则x-4-(rr=4 4)若A为n阶方阵,则 )=1(4)=n- ,( (3)有关A的结论 (4)分块求逆公式 A可逆分→AA-=E A"CB e→r(4)=n A可以表示为初等矩阵的乘积 A O →A无零特征值 这里A,B均为可逆方阵 兮AX=0只有零解 向量 重要公式与结论 (1)有关向量组的线性相关性 1)部分相关,整体相关:整体无关,部分无关 2)①n个n维向量a1,a2…,an线性无关台[1,a2…,an]≠0 n个n维向量a1a2…an线性相关台|l,a2…al]|=0 ②n+1个n维向量线性相关 ③若ax1,a2,…,O线性无关,则添加分量后仍然线性无关;或一组向量线性相关,去掉某些分量后仍 线性相关 3)设r(Amn)=r,则A的秩r(4)与A的行列向量组的线性相关性关系为 ①若r(4mn)=r=m,则A的行向量组线性无关。②若r(An)=r<m,则A的行向量组线性 相关。 ③若(A1)=r=n,则A的列向量组线性无关,④若(A)=r<n,则A的列向量组线性 相关。 (2)有关向量组的线性表示
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 （2）有关 的结论 ∗ A 1） == EAAAAA ∗∗ 2） ( 2) ( ) ,( ) ( 3) 2 1 1 =≥= ≥= ∗ − ∗ ∗∗− ∗ − nAAAAkkAnAA n n n ， 3）若 A 可逆，则 ( ) A A AAAA 1 , 1 1 = = − ∗ ∗− 4）若 A 为 阶方阵，则 n ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −< −= = = ∗ 1,0 ,1 ;1 ;, nAr nAr nArn Ar （3）有关 的结论 （4）分块求逆公式 −1 A A 可逆⇔ AA = E −1 ； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 1 1 BO OA BO OA ⇔ A ≠ 0 ； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− − 1 1 11 1 BO CBAA BO CA ⇔ ( ) = nAr ； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−− − − 111 1 1 BCAB OA BC OA ⇔ A 可以表示为初等矩阵的乘积； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − OA BO B AO 1 1 1 0 ⇔ A 无零特征值； 这里 均为可逆方阵。 , BA ⇔ Ax = 0 只有零解。 二、 向量 重要公式与结论 （1）有关向量组的线性相关性 1）部分相关，整体相关；整体无关，部分无关 2）① 个 维向量 n n α α α n ,,, 21 L 线性无关⇔ [ ] 0 ,,, 21 L ααα n ≠ n 个 维向量 n α α α n ,,, 21 L 线性相关⇔ [ ] 0 ,,, 21 L ααα n = ② 个 维向量线性相关。 n +1 n ③若α α α s ,,, 21 L 线性无关，则添加分量后仍然线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍 线性相关 3）设 ( ) A ×nm = rr ,则 A 的秩 与 r( ) A A 的行列向量组的线性相关性关系为： ①若 ( ) A ×nm rr == m ，则 A 的行向量组线性无关。 ②若 (A ×nm ) = rr < m ，则 A 的行向量组线性 相关。 ③若 ( ) A ×nm rr == n ，则 A 的列向量组线性无关。 ④若 (A ×nm ) = rr < n ，则 A 的列向量组线性 相关。 （2）有关向量组的线性表示 32
水木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:0106270105923785地址:清华同方科技广场B座609室 1)a1,a2,…,a1线性相关分至少有一个向量可以用其余向量线性表 2)若a1,C2,…,,线性无关,a1,C2,…,a1,B线性相关兮B可以由a1,a2,…,O,唯一线性表 3)B可以由a1,a2…a,线性表示台r(a1,a12…,a,)=r(a1,a2…,a,B) (3)有关矩阵的秩的结论: 1)秩r(4)=行秩=列秩 2)r(4m)≤min(m,n 3)A≠0→r(4)≥1 4)r(4±B)≤r(4)+r(B) 5)初等变换不改变矩 阵的秩 6)r(4)+r(B)-n≤(AB)≤min【(4)r(B),特别若AB=0,则r(4)+r(B)≤n 7)若A存在→r(AB)=r(B) 若B存在→r(AB)=r(4) 若r(Am)=n→r(AB)=r(B) 若r(Bm,)=n→r(AB)=(4) r(A4mn)=n台Ax=0只有零解 四、线性方程 重要公式与结论 (1)设A为mxn矩阵,r(Amn)=m,则对Ax=b而言必有r(4)=r(A,b)=m,从而Ax=b 有解 (2)设x12x2…xn为Ax=b的解,则kx1+k2x2+…+knxn当k1+k2+…+kn=1时仍为 Ax=b的解,但当时k+k2+…+kn=0,则为Ax=0的解 特别:2为Ax=b的解:2x3-(x+x2)为Ax=0的解。 (3)非次线性方程组Ax=b无解(小+1=r(4)b不能由A的列向量x,再2…,x线性表 (4)n阶矩阵A可逆分AxX=0只有零解。 Vb,Ax=b总有唯一解 一般地,r(4n)=n台Ax=0只有零解 五、特征值、特征向量 重要公式与结论 (1)设λ是A的一个特征值,则k,aA+bE,A2,理m,f(A)A,A!,A有一个特征值分别为
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 1）α α α s ,,, 21 L 线性相关 至少有一个向量可以用其余向量线性表示。 ⇔ 2）若α α α s ,,, 21 L 线性无关，α α α s ,,, 21 L ，β 线性相关⇔ β 可以由α α α s ,,, 21 L 唯一线性表 示。 3） β 可以由α α α s ,,, 21 L 线性表示⇔ (α α α ) (α α α ,,,,r,,,r β ) 21 L s = 21 L s （3）有关矩阵的秩的结论： 1）秩 ＝行秩＝列秩 r( ) A 2） (A ) ( nm ) nm r × ≤ ,min ； 3） 0 ( ) ArA ≥⇒≠ 1; 4） ( ± ) ≤ ( ) + rrr (BABA ) 5)初等变换不改变矩 阵的秩 6） () () ( ) −+ ≤ ABnBA ≤ { } ( ) r,rminrrr (BA ) ，特别若 AB = 0，则 ( ) () + rr ≤ nBA 7）若 存在 若 −1 A ()( =⇒ rr BAB ) −1 B 存在⇒ ( ) = rr (AAB ) 若 r( ) ×nm ( ) ( =⇒= rr BABnA ) 若 r( sn ) = ⇒ ( ) ( = rr AABnB ) × 8） r( ) ×nm AxnA =⇔= 0 只有零解 四、线性方程组 重要公式与结论 （1）设 A 为 矩阵， × nm r( ) ×nm = mA ，则对 = bAx 而言必有 ( ) = ( ,rr ) = mbAA ，从而 有解。 = bAx （2）设 21 L,,, xxx n 为 = bAx 的解，则 nn + +L+ xkxkxk 2211 当 + 21 +L kkk n =+ 1 时仍为 = bAx 的解，但当时 21 L+++ kkk n = 0 ，则为 Ax = 0 的解。 特别： 2 21 + xx 为 = bAx 的解； ( ) 2 213 − + xxx 为 Ax = 0 的解。 （3）非其次线性方程组 无解 = bAx ( ) r1r ( )⇔=+⇔ bAA 不能由 A 的列向量 线性表 示。 n ,,, xxx 21 L （4） 阶矩阵 n A 可逆⇔ Ax = 0 只有零解。 ⇔ ∀ , = bAxb 总有唯一解。 一般地， r( ) ×nm = ⇔ AxnA = 0 只有零解。 五、特征值、特征向量 重要公式与结论 （1）设 λ 是 A 的一个特征值，则 ( ) ∗− + AAAAfAAbEaAkA m T ,,,,,,, 2 1 有一个特征值分别为 33
水木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:0106270105923785地址:清华同方科技广场B座609室 A02+b),()x21山.且对应特征向量相同(例外 (2)若,2…,为A的n个特征值,则∑4=∑a,∏=4,从而A≠0分A没有零 特征值。 (3)若A~B,则 f一B,r-B,-F2)=1∑a,=∑b,(4)=(0)3E-4=E-B 对V成立 (4)设A为n阶方阵,则A可对角化兮→对每个k重特征值入2,有n-r(,E-A)=k (5)设A可对角化,则由P-1AP=A,从而A=PAP1 (6)设A,2,…,为A的S个特征值,对应的特征向量为a12a2,…,a3,若 a=ka1+k2a2+…+k,a, Aa=k1Aa1+k24a2+…+k,Aa,=ka1+k2a2+…+k,xa, 六、二次型 重要公式与结论 (1)设A正定→k(k>0),A,A正定:4>0,A可逆:an>0,且A4>0 (2)A,B正定→A+B正定,但AB,BA不一定正定 (3)A正定ef(x)=xAx>0,vx≠0 A的各阶顺序主子式全大于零 A的所有特征值都大于零 A的正惯性指数为n 3可逆阵P使A=PP 存在正交阵O使得 其中1>0,=12,…,n A
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 ( ) λ λλλλλλλ A fbak m ,,,,,,, 2 −1 + ，且对应特征向量相同（ 例外） T A （2）若 λ λ λn ,,, 21 L 为 A 的 n 个特征值，则 a A n i i n i ii n i i = ∑∑ ∏ = =1 =1 =1 λ , λ ，从而 0 ⇔≠ AA 没有零 特征值。 （3）若 A ~ B ,则 1） 2） ∗∗−− BABABA TT ~,~,~ 11 () () BAbaBA n i ii n i ii , rr, 1 1 = = ∑∑ = = = 3） λλ −=− BEAE , 对∀λ 成立。 （4）设 A 为 阶方阵，则 n A 可对角化⇔ 对每个 重特征值 i k λi ，有 ( ) i i − r λ − = kAEn 。 （5）设 A 可对角化，则由 Λ= − P AP 1 ,从而 −1 A = PΛP n 。 （ 6 ） 设 λ λ λs ,,, 21 L 为 A 的 s 个特征值，对应的特征向量为 α α α s ,,, 21 L ， 若 ss α α α 2211 L+++= kkk α ，则 s n ss n n s n s n n n AkAkA ααα 2211 L kkAk αλαλα 222111 L+++=+++= k αλ 。 六、二次型 重要公式与结论 （1）设 A 正定 ( ) ∗− >⇒ AAAkkA T ,,,0 1 正定； > ,0 AA 可逆； ，且 aii > 0 Aii > 0 。 （2） 正定 ,BA ⇒ + BA 正定，但 不一定正定。 , BAAB （3） A 正定 ( ) xAxxxf ≠∀>=⇔ 0,0 T ⇔ A 的各阶顺序主子式全大于零 ⇔ A 的所有特征值都大于零 ⇔ A 的正惯性指数为 n ∃⇔ 可逆阵 使P A P PT = ⇔ 存在正交阵Q 使得 其中 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == − n T AQQAQQ λ λ λ O 2 1 1 ni i λ > = L,,2,1,0 34