《线性代数》课程PPT教学课件（讲稿）第二章 矩阵及运算（2.4）矩阵的分块法

阵的忿法 矩阵的分块 三分矩阵的运算法则 三应用 两种特殊的分块法 五小结 六思考

课前复习 定义对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B, 使得 AB=BA=E, 则称矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A-1 说明若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的 定理1若矩阵A可逆,则4≠0 定理2矩阵A可逆的充要条件是4≠0且 A=A',其中为矩阵A的伴随矩阵 当4,A称为奇异矩阵; 当A4,A称为非奇异矩阵

课前复习 使得 AB BA E = = , 的逆矩阵记作 1 A . − A 定义 对于ｎ阶矩阵Ａ，如果有一个ｎ阶矩阵Ｂ， 则称矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵. 说明 若Ａ是可逆矩阵，则Ａ的逆矩阵是唯一的. 定理1 若矩阵Ａ可逆，则 A  0. 定理2 矩阵Ａ可逆的充要条件是 A  ，且 0 1 1 A A , A −  = A 其中  为矩阵Ａ的伴随矩阵. 当 A = 时 0 ，Ａ称为奇异矩阵； 当 A 时，0 Ａ称为非奇异矩阵

运算规律(设AB均是n阶方阵) 1)若A→A3,且(A)=A 2)若3,≠0→(4),且(14)=元4 3)若A3,B13,且A圓阶,→(AB)彐, 且(AB)=BA1 推广(4142…A,)=An1…4-14 4)若A3→(4)3,且()=(42) 5)若A13→|41=4 6)若,3(4),且()=(

运算规律 （设ＡＢ均是ｎ阶方阵） 1 A −  1 A , − 1）若   ( ) 1 1 A A. − − 且 = ( ) 1 A , −   1 A , 0  − 2）若   ( ) 1 1 1 A A .  − − 且 = ( ) 1 AB , −   1 1 A B, − − 3）若   ，且 A B, 同阶， 推广 ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 . A A A n n A A A − − − − = ( ) 1 , T A −   1 A − 4）若  ( ) ( ) 1 1 . T T A A − − 且 = 1 1 A A − −  = 1 A − 5）若  1 A , − 6）若  ( ) 1 A , −    ( ) ( ) 1 1 . A A A A −   − 且 = = ( ) 1 1 1 AB B A − − − 且 =

7)其它的一些公式 AA*=AA=AE A”=4A A=A 2 (AB)=B°A 4 k n( n- 8)一些规定 =E k 44=A 元+μ A 4 (其中kA为整数

（其中ｋλμ为整数） 7）其它的一些公式 n 1 A A  − = AA A A A E   = = ( ) n 2 A A A   − = ( ) 1 A A A . −  = 1 A A A  − = ( AB B A )    = ( ) n n( 1) n 1 kA k A  − − = 0 A E = ( ) 1 k k A A − − = A A A    + = ( A A )    = 8）一些规定 ( ) n 1 kA k A  −  =

矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵,为了简化运算, 经常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运 算.具体做法是:将矩阵用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵,每一个小矩阵称为子块,以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 例 B 0 B 0 00 B2 10b1 即A 0b1 011b 0

              = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算， 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运 算. 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. , 3 2 1           = B B B 例               A = a 1 0 0 0 0 0 1 0 1 a b 0 1 1 b           = B1 B2 B3 即

0 00 A=……… 10:b e B l:1 0a010 :1:0 1b0 a:0:0 (4A2434),4 0:b:1 注:分块时首先满足E,再考虑对角或三角矩阵, 然后考虑d以及其它的特殊矩阵 按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式

,      = E B A O ( ) 1 2 3 4 = A A A A ,               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 a A a   =           = b b B 1 1       = 0 1 1 0 E       = 0 0 0 0 O 1 0 1 0 a A     =                      = 1 0 1 2 a A               = 1 0 0 3 b A               = b A 1 0 0 4 注：分块时首先满足 E ，再考虑对角或三角矩阵， 然后考虑 O 以及其它的特殊矩阵. 按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式

二、分块矩阵的运算规则 分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似 1、矩阵的加法 设与为同型矩阵,采用相同的分块法,有 ir B 11 B 其中与海同型矩阵,则 A4,+B 11 A +B Ir 1 AtB A,+B a +B

11 11 1 1 1 1 . r r s s sr sr A B A B A B A B A B   + +   + =       + + 11 1 11 1 1 1 , r r s sr s sr A A B B A B A A B B         = =             二、分块矩阵的运算规则 1、矩阵的加法 设 A 与 B 为同型矩阵，采用相同的分块法，有 其中 Aij 与 B 为同型矩阵，则 ij 分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似

2、数乘 见A 孔A1, ,∈R,则孔A4 A A 3、乘法 设An,B分块成 lt B B 其中A1,42,的列数分别等于B的数,B

11 1 1 , , r s sr A A A R A A      =        2、数乘 11 1 1 . r s sr A A A A A          =       则 3、乘法 设 A B m l l n   , ，分块成 11 1 11 1 1 1 , , t r s st t tr A A B B A B A A B B         = =             其中 的列数分别等于 的行数. 1 2 , , , A A A i i it 1 2 , , , B B B j j tj

那么 11 AB= 其中C=∑AB( 4、转置 :,则 分块矩阵的转置为先大转置,而后小转置

11 1 1 r s sr C C AB C C     =       1 t ij ik kj k C A B = 其中 =  (i s j r = = 1, , ; 1, , .) 1 1 1 1 , s sr A r A A A A     =       4、转置 11 1 1 . T T T T r s T r A As A A A     =       则 那么 分块矩阵的转置为先大转置，而后小转置

5、分块对角短阵 设A为n阶方阵,若A的分块矩阵只有在主对角 线上有非零子块(这些非零子块必须为方阵),其余 子块全为零,那么方阵A就称为分块对角阵 即如A= ,A(=1,2,…S)都是方阵 10000 2000 01200 0300 01300 都是分块对角阵 0001 00021 0020 00015

( 1,2, ) A i s i = 都是方阵. 5、分块对角矩阵 设Ａ为ｎ阶方阵，若Ａ的分块矩阵只有在主对角 线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余 子块全为零，那么方阵Ａ就称为分块对角阵. 1 2 , s A A A A     =         即如 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 5               2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0             都是分块对角阵