第一章小结与练习
排列 行列式 定 性 展 义 质 开 全 列双 日 目克拉默法则
1排列 把个不同的元素排成一列,叫做这介元 素的全排列(或排列) n个不同的元素的所有排列的种数用示, 且P=n!. 2逆序数 在一个排列P1…P∵若数,P>P 则称这两个数组成一个逆序.一个排列中所有逆序 的总数称为此排列的逆序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶 数的排列称为偶排列
把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元 素的全排列（或排列）. n n 个不同的元素的所有排列的种数用 表示， 且 ． n P n P n! n = １ 排列 ２ 逆序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶 数的排列称为偶排列． 在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序．一个排列中所有逆序 的总数称为此排列的逆序数． 1 i j n p p p p i j p p
3对换 定义在排列中,将任意两个元素对调,其余元 素不动,称为一次对换.将相邻两个元素对调, 叫做相邻对换 定理一个排列中的任意两个元素对换,排列改 变奇偶性 推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数
３ 对换 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元 素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调， 叫做相邻对换． 定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性． 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
4n阶行列式的定义 12 D= 21 22 =∑(-)an P22…· Pnh P1P2…Pn n 12 n 或D=∑(-1)ana21…am P1P2…Pn 其中为排列P1P2的逆序数
4 n阶行列式的定义 ( ) p p p n p p p t n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 = = − 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 n n t p p np p p p 或 D a a a = − 其中 t 为排列 1 2 的逆序数 n . p p p
5n阶行列式的性质 性质1行列式与它的转置行列式相等即D.=D 性质2互换行列式的两行(列)行列式变号 推论如果行列式有两行(列)的对应元素完全 相同,则此行列式为零 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数k,等于用数乘此行列式 推论2行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零 性质4若行列式的某一列(行)的元素都是两 数之和则这个行列式等于两个行列式之和 性质5把行列式的某一列(行)的各元素乘以同 数然后加到另一列行对应的元素上去,行列式 不变
5 n阶行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 . T D D= 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全 相同，则此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 乘此行列式 k . 推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零． 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和,则这个行列式等于两个行列式之和. 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同 一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式 不变．
6行列式按行和列展开 余子式与代数余子式 在阶行列式中,把元素哳在的第行和第列 划去后,留下来的n阶行列式叫做元素的余子式 记作My 记4=(-1)M叫做元素d代数余子式 关于代数余子式的重要性质 D,当i ∑ a,A.,=D6 ,当i≠ 当i= = 10,当i≠j ∑ a.A.=D8.= ∫D,当i= -0,当i≠
6 行列式按行和列展开 余子式与代数余子式 ij a 记作 . 划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式， 在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 i 列 j n − 1 ij a Mij ( 1) i j A M ij ij + 记 = − ， 叫做元素 a 的 ij 代数余子式． 关于代数余子式的重要性质 1 , , 0 , ; n ki kj ij k D i j a A D i j = = = = 当 当 1 , , 0 , ; n ik jk ij k D i j a A D i j = = = = 当 当 1 , 0 , . ij i j i j = = 当 ， 当
7 Cramer法则 在线性方程组中 若常数项b,b不金购零,则称此方程组为非 齐次线性方程组; 若常数项b,b全为犀,则称此方程组为齐次 线性方程组 如果线性方程组的系数行列式D测线性方 程组一定有解且解是唯一的 如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它的 系数行列式必为零
7 Cramer 法则 在线性方程组中 若常数项 不全为零，则称此方程组为非 齐次线性方程组； 1 2 , , , n b b b 若常数项 全为零，则称此方程组为齐次 线性方程组. 1 2 , , , n b b b 如果线性方程组的系数行列式 则线性方 程组一定有解,且解是唯一的 . D 0, 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零
行列式 会
逆序数的求法 (2k)1(2k-1)2(2k-2)3(2k-3)(k+1)k 解t=0+1+1+2+3+…(k-1)+k=k2 另t=(2k-1)+(2k-3)+(2k-5)+…+1=k2 行列式的求法 0 00 1、定义法0 00 00 0
2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 ( k k k k k k ) ( − − − + ) ( ) ( ) ( ) 逆序数的求法 t k k = + + + + + − + 0 1 1 2 3 ( 1) 2 = k t k k k = − + − + − + + (2 1) (2 3) (2 5) 1 2 = k 解 另 行列式的求法 1、定义法 1 2 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n a a a a b b b − −