第三阵的运算 九七六五 小共伴矩矩乘数加 结轭随阵阵阵法法 矩矩的的的 阵阵行转幂 列置 式
课前复习 1、矩阵的定义 由数域F中的m×n个数啡成的m行n列的矩 形数表,称为数域F中的一个mxn矩阵 2 记作:A= 21 22 2n 1 n 注:实矩阵,复矩阵,行矩阵,列矩阵,方阵,方阵 的行列式,两矩阵同型,两矩阵相等
课前复习 1、矩阵的定义 形数表，称为数域Ｆ中的一个ｍ×ｎ矩阵. 由数域Ｆ中的ｍ×ｎ个数 排成的ｍ行ｎ列的矩 ij a 记作： 11 12 1 21 22 2 1 1 n n m m mn a a a a a a A a a a = 注：实矩阵，复矩阵，行矩阵，列矩阵，方阵，方阵 的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等
2、几种特殊的矩阵 1)零矩阵 m×n个元素全为零的矩阵称为零矩阵 2)对角矩阵 主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵 3)单位矩阵 主对角线上的所有元素全为1的对角阵称为单位阵 4)数量矩阵 主对角线上的所有元素全为的对角阵称为数量阵 5)三角矩阵 上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵 6)负矩阵
2、几种特殊的矩阵 1）零矩阵 ｍ×ｎ个元素全为零的矩阵称为零矩阵. 2）对角矩阵 主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵. 3）单位矩阵 主对角线上的所有元素全为１的对角阵称为单位阵. 4）数量矩阵 主对角线上的所有元素全为λ的对角阵称为数量阵. 5）三角矩阵 上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵. 6）负矩阵
7)阶梯形矩阵 称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵: 1)若有零行(元素全为零的行),位于底部 2)各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右 8)行最简形矩阵 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵 1)行阶梯形矩阵 2)各非零行的首非零元均为1 3)首非零元所在列其它元素均为0 9)标准形 称满足下列两个条件的矩阵为标准形 1)左上角为单位阵;2)其它元素均为0
称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵： 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部； 7）阶梯形矩阵 2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右. 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵： 1）行阶梯形矩阵 8）行最简形矩阵 2）各非零行的首非零元均为１. 3）首非零元所在列其它元素均为０. 称满足下列两个条件的矩阵为标准形： 1）左上角为单位阵； 9）标准形 ２）其它元素均为０
矩阵的加法 1、定义若A=(an)mn,B=(bn)mwn, 规定A+B=(an+b2)mn 注意只有同型矩阵才能进行加法运算. 2、运算规律(设ABCO均是同型矩阵) (1)A+B=B交换律) (2)(A+B)+C=A∈轴合律) (3)A+O=A (4)A+(-A4)=O (5)A-B=AQ辆)
一、矩阵的加法 1、定义 注意:只有同型矩阵才能进行加法运算. ( ) A B a b + = +ij ij m n ( ) , ( ) 若 A a B b = = ij m n ij m n ， 规定 2、运算规律（设ＡＢＣＯ均是同型矩阵） （1） A B B A + = + （交换律） （2） ( ) ( ) A B C A B C + + = + + （结合律） （3） A O A + = （4） A A O + − = ( ) （5）A B A B − = + − （减法） ( )
二、数乘矩阵 1、定义若A=(an)nn,L∈R, 规定A=A=(an)mn 2、运算规律(设AB是A障,),p∈R (1)1A=A (2)(4)=(4)A (3)(4+B)=A+B(4)(4+)A=A+A (5)04=0 (6)0=0 注意:1)数乘矩阵是数去乘A中的每一个元素. 2)若九A=A则 2=0 or. A=0. or, 2=0andA=0 矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算
二、数乘矩阵 1、定义 ( ) , , A a R = ij m n ( ) A A a = = ij m n 若 规定 2、运算规律 （设 A B C 均是 m n 矩阵， ） , R （1） 1A A = （2） ( ) ( ) A A = （3） ( ) A B A B + = + （4） ( ) + = + A A A （6） O O= 注意: 1）数乘矩阵是数λ去乘Ａ中的每一个元素. （5） 0A O= 2）若 A O= ，则 = = = = 0 . . . . 0. . or A O or and A O 矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算
、矩阵的乘法 1、引例设甲、乙两家公司生产T、Ⅱ、Ⅲ三种型 号的计算机,月产量(单位:台)为 甲2520184= 252018 12 13 乙241627 241627 21 22 23 如果生产这三种型号的计算机每台的利润单位:万 元/台为 I0.5 0.5 11 m02B=|02|=|b1 Ⅲ0.7 那么这两家公司的月利润单位:万元)为多少?
三、矩阵的乘法 1、引例 设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型 11 12 13 21 22 23 a a a a a a = 如果生产这三种型号的计算机每台的利润(单位：万 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 甲 乙 25 20 18 24 16 27 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 0.5 0.2 0.7 11 21 31 b b b = 0.5 0.2 0.7 B = 25 20 18 24 16 27 A = 那么这两家公司的月利润 (单位：万元) 为多少? 号的计算机，月产量（单位：台）为 元／台)为
依题意 11 1b1+a12b21+a13b31 C 12 13 21 22 23 21011 +a2b21+a2b 31 25×0.5+20×0.2+18×0.7 29.1 24×0.5+16×02+27×07)(34.1 甲公司每月的利润为291万元,乙公司的利润为 341万元 由例题可知矩阵A、B、C的元素之间有下列关系 C=AB= b;,+a12b21+3 11 b1+ b ta 2221 21
29.1 34.1 = C = 25 0.5 20 0.2 18 0.7 24 0.5 16 0.2 27 0.7 + + = + + 甲公司每月的利润为29.1万元，乙公司的利润为 由例题可知矩阵Ａ、Ｂ、Ｃ的元素之间有下列关系 11 11 12 21 13 31 11 21 11 22 21 23 31 21 a b a b a b c C AB a b a b a b c + + = = = + + 11 11 12 21 13 31 21 11 22 21 23 31 a b a b a b a b a b a b + + = + + 11 12 13 21 22 23 a a a a a a 11 21 31 b b b 34.1万元. 依题意
2、定义若A=(an)m,B=(b)n, 规定AB=C=(cn)mn 其中c =n1;+a2b,+…+a,b ik k=1 (i=1,2,…,m;j=1,2,,mD 注:1)条件左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数 2)方法左行右列法——矩阵乘积c的元素c 等于左矩阵舶第行与右矩阵的第列对应元素 乘积的和 3)结果左行右列一—左矩阵A的行数为乘积 C的行数,右矩阵B的列数为乘积C的列数
2、定义 ( ) , AB C c = = ij m n ( ) ( ) , 若 A a B b = = ij m n s s ， ij 规定 1 1 2 2 1 ij i j i j is sj ik kj c a b a b a b a b = = + + + ｓ ｋ 其中 ＝ （i m j n = = 1 2 1 2 ，， ，； ，， ，） 注： 1）条件 左矩阵Ａ的列数等于右矩阵Ｂ的行数 2）方法 C ij c 等于左矩阵 的第 行与右矩阵 的第 列对应元素 左行右列法——矩阵乘积 的元素 A i B j 乘积的和. 3）结果 左行右列——左矩阵Ａ的行数为乘积 Ｃ的行数，右矩阵Ｂ的列数为乘积Ｃ的列数
特别: 1×s与s×1矩阵的乘积为一阶方阵,即一个数 b 12 )?=a11+anb1+…a,b;∑ lk k1 s×1与1×s矩阵的乘积为一个s阶方阵 11 1112 2112 21m1s 12 sI 112
特别： ( ) 11 21 11 12 1 1 s s b b a a a b 11 11 12 21 1 1 s s = + + a b a b a b 1 1 k k = a b ( ) 11 21 11 12 1 1 s s a a b b b a 1 s 与 s 1 矩阵的乘积 s 1 与 1 s 矩阵的乘积为 11 11 11 12 11 1 21 11 21 12 21 1 1 11 1 12 1 1 s s s s s s a b a b a b a b a b a b a b a b a b = 为一阶方阵，即一个数 一个ｓ阶方阵