第四章解析函数的级数表 本章的主要内容是:复数项级数和复变函数项级 数的一些基本概念和性质;重点介绍复变函数项 级数中的幂级数和由正、负整次幂项所组成的洛 朗级数 关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念科 定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围厌 的直接推广,因此,在学习中结合高等数学中 穷级数部分的复习,并在对此中进行学习 2021/224
2021/2/24 4 第四章 解析函数的级数表 示 ▪ 本章的主要内容是：复数项级数和复变函数项级 数的一些基本概念和性质；重点介绍复变函数项 级数中的幂级数和由正、负整次幂项所组成的洛 朗级数. ▪ 关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和 定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围内 的直接推广，因此，在学习中结合高等数学中无 穷级数部分的复习，并在对此中进行学习．
第四章解析函数的级数 表示 >4.1复数项级数 >42复变函数项级数 4.3泰勒级数 >44洛朗级数 本章小结 今思考题 2021/224
2021/2/24 5 第四章 解析函数的级数 表示 ➢4.1 复数项级数 ➢4.2 复变函数项级数 ➢4.3 泰勒级数 ➢4.4 洛朗级数 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节复数项级数 复数列极限 定义:设{n}={xn+n}(n=12…)为一复数列,又==x+为一确定复数, 如果对任意给定E>0,相应地能找到一个正数N(e)>0,当n>M时,有=n-=0∞时的极限,记作: imzn==0,或称复数列二n收敛于z 定理1:复数列=n收敛于=,即1mn=5的充要条件是 Im x Im 1 n→00 2021/224
2021/2/24 6 第一节 复数项级数 ➢ 一、复数列极限 定义： 0 0 0 { } { } ( 1, 2, ) n n n 设 为一复数列，又 为一确定复数， z x iy n z x iy = + = = + 0 0 ( ) 0 N n N z z n 如果对任意给定 ，相应地能找到一个正数 ，当 时，有 成立， − 0 { }n 则称 为复数列 当 时的极限，记作： z z n → 0 lim , n n z z → = { } . n 或称复数列 收敛于 z z 定理1： 0 0 0 0 lim { } lim . lim n n n n n n n x x z z z z y y → → → = = = 复数列 收敛于 ，即 的充要条件是
证明:必要性已知imzn= →VE>0.N∈N,当n>N时,有xn+)-(x+-)0,N∈N+,当n>M时,都有x-x4 n-=a|=(x-x)+(yn-)≤{x,-x+(n-1)k<,盒 →lmz.=z n→)00 2021/224
2021/2/24 7 证明：必要性 0 lim n n z z → 已知 ， = 0 0 0, , ( ) ( ) . N N n N x iy x iy n n + − + + 当 时，有 0 0 0 0 ( ) ( ) n n n n − − = − + − x x z z x x i y y 0 lim , n n x x → = 0 lim . n n y y → 同理可得： = 充分性 0 0 lim ,lim n n n n x x y y → → 已知 ， = = 0 0 0, , , ( ) 2 2 N N n N x x y y n n − − + 当 时，都有 ， 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , n n n n n − = − + − − + − z z x x i y y x x y y 0 lim . n n z z → =
例1.下列复数列是否收敛?如果收敛,求出其极限 (1)=n=(1+-)en,(2)n= n cos in +3 (3)n=( 解: (1)=n=(1+-)e"=(1+-)cos+isin x,=(1+cos,y,=(1+sin 1. lim y n→0 En=(1+-)e收敛,且有 lim z=1 (2)E,=ncosin =n(e +e)=ncoshn )=ne"(e-+1) → lim z,= lim -ne'(e+1)=∞, n→)0 n→① 所以复数列{=}发散 2021/224
2021/2/24 8 • 例1．下列复数列是否收敛？如果收敛，求出其极限. 1 (1) (1 ) , i n n z e n = + (2) cos , n z n in = 1 3 (3) ( ) . 6 n n i z + = 解： 1 (1) (1 ) i n n z e n = + 1 (1 )(cos sin ) i n n n = + + 1 1 (1 ) cos , (1 ) sin , n n x y n n n n = + = + lim 1,lim 0, n n n n x y → → = = 1 (1 ) i n n z e n = + 收敛， lim 1. n n z → 且有 = (2) cos n z n in = 1 ( ) 2 n n n e e − = + = n n cosh 1 2 ( ) ( 1) 2 2 n n n n n e e ne e − − = + = + 1 2 lim lim ( 1) , 2 n n n n n z ne e − → → = + = { } . n 所以复数列 发散 z
+3i r"e=r"(cos ne+isin ne) 1+3i 而r 6<1,→lmr"=0 n→)0 limr" n6=0.limrn sinne=0 0. n→)a (若lim|==0,→lim=n(os+isin0)=0,即im=n=0,反之也成立 2021/224
2021/2/24 9 1 3 (3) ( ) (cos sin ) 6 n n in n n i z r e r n i n + = = = + 1 3 10 1 6 6 i r + 而 ， = = lim 0, n n r → = lim cos 0, lim sin 0 n n n n r n r n → → = = lim 0. n n z → = lim 0 lim (cos sin ) 0 lim 0, ) n n n n n n z z i z → → → (若 ， ，即： 反之也成立 = + = =
二、复数项级数的概念 定义:()设复数列{=n}={xn+mn,称∑n为无穷级数; (2)Sn=z1+2+…+n为复数项级数的部分和; (3)若部分和数列{S收敛,则称级数∑=收敛, 且imSn=S称为级数的和,如果数列S不收敛,则称级数∑=发散 例1.当=k时,判断级数+2+2+…+=”+…是香收敛 n+ ∠ 解:部分和S(二)=+z+z2+…+ ∠ n+1 n+1 m Im 0.→lim n→> 2|n->∞ n→∞1-z → lim s=lim( n→) 2021/224
2021/2/24 10 定义： 1 1 { } { } n n n n n z x iy z = （）设复数列 ，称 为无穷级数； = + 1 2 (2) n n S z z z = + + + 为复数项级数的部分和； 1 { }n n n S z = (3)若部分和数列 收敛，则称级数 收敛， lim n n S S → 且 称为级数的和， = 1 { } . n n n S z = 如果数列 不收敛，则称级数 发散 • 例1． 2 | | 1 1 n 当 时，判断级数 是否收敛？ z z z z + + + + + 解： 1 1 2 1 1 ( ) 1 1 1 n n n n z z S z z z z z z z + + − = + + + + = = − − − − 部分和 1 1 | | lim lim 0, 1 |1 | n n n n z z z z + + → → = = − − 1 lim 0, 1 n n z z + → = − 1 1 1 lim lim( ) , 1 1 1 n n n n z S z z z + → → = − = − − − z 1. ➢ 二、复数项级数的概念
定理2:复数项级数∑=收敛的充分必要条件是实数项级数∑x和∑y都收敛 证明:Sn=+z2+…+n=(x+x2+……+x)+1(y1+y2+…+y =可n+1rn,a和分别为实数项级数∑x和∑y的部分和, 由定理可知数列{Sn}有极限的充要条件是{Gn},{zn}有极限存在, 即∑x和∑y都收敛 说明:定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题∑x 由实数级数∑x和∑y收敛必要条件imx=0my=0,即可得下面定理 定理3:复数项级数收敛的必要条件是limz,=0 2021/224
2021/2/24 11 定理2： 1 1 n n n n x y = = 实数项级数 和 都收敛. 1 n n z = 复数项级数 收敛的充分必要条件是 证明： n n 1 2 S z z z = + + + 1 2 1 2 ( ) ( ) n n = + + + + + + + x x x i y y y , n n = + i 1 1 n n n n n n x y = = 和 分别为实数项级数 和 的部分和， 1 { } { }{ } n n n 由定理 可知数列 有极限的充要条件是 ， 有极限存在， S 1 1 . n n n n x y = = 即 和 都收敛 1 2 n n x = 说明：定理 将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题， 1 1 lim 0,lim 0 n n n n n n n n x y x y → → = = 由实数级数 和 收敛必要条件 ，即可得下面定理3. = = 定理3： lim 0. n n z → 复数项级数收敛的必要条件是 =
定理3:如果级数∑收敛,则级数∑也收敛,且不等式∑叫∑成立 n=1 (此时称∑二为绝对收敛,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛 证明:因为∑=∑√+)收敛, 而k≤x+y2,l}≤√x+1m 由实数项正项级数的比较准则,可知级数∑|x和∑|y都收敛, 从而级数∑x和∑y也都收敛, 由定理2可知复级数∑二也是收敛 又对于级数∑和的部分和成立的不等式:∑叫=| k=1 →lim>z|≤lim 即 ∑ 2021/224 k=1 k=1
2021/2/24 12 定理3： 1 1 n n n n z z = = 如果级数 收敛，则级数 也收敛, 1 ( ) n n z = 此时称 为绝对收敛，非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛 1 1 . n n n n z z = = 且不等式 成立 证明： 2 2 1 1 n n n n n z x y = = 因为 收敛， = + 2 2 2 2 , n n n n n n 而 ， x x y y x y + + 1 1 n n n n x y = = 由实数项正项级数的比较准则，可知级数 和 都收敛， 1 1 n n n n x y = = 从而级数 和 也都收敛， 1 2 . n n z = 由定理 可知复级数 也是收敛 1 1 n n n n z z = = 又对于级数 和 的部分和成立的不等式： 1 1 n n n n k k z z = = 1 1 lim lim , n n k k n n k k z z → → = = 1 1 . k k k k z z = = 即：
说明:(∑=绝对收敛∑x与∑均绝对收敛 (2)因为∑|各项为非负实数,所以它的敛散性可用正项级数判定法来判定 (3)若∑二收敛,而∑|-不一定收敛,即∑=是条件收敛 例2.下列级数是否收敛?是否绝对收敛? (1)∑=(1+ 2∑ ()+1.4 解:(2+实部∑发散,→∑+4)发散 n=I n h=11 (2)|=n|= (8)_8 由正项级数比较判别法: 8 lim 0(n+1)8 n→)n ∑为绝对收敛 为(和∑都收敛,=∑上+收敛, 但∑(为条件收敛,所以∑+1为条件收敛 2021/224 n=1
2021/2/24 13 说明： 1 1 1 (1) . n n n n n n z x y = = = 绝对收敛 与 均绝对收敛 1 (2) n n z = 因为 各项为非负实数，所以它的敛散性可用正项级数判定法来判定. 1 1 1 (3) n n n n n n z z z = = = 若 收敛，而 不一定收敛，即 是条件收敛. • 例2．下列级数是否收敛？是否绝对收敛？ 1 1 (1) (1 ), n i n n = + 1 (8 ) (2) , ! n n i n = 1 ( 1) 1 (3) [ ]. 2 n n n i n = − + 解： 1 1 1 1 (1) (1 ) n n i n n n = = + 的实部 发散， 1 1 (1 ) . n i n n = + 发散 (8 ) 8 (2) | | , ! ! n n n i z n n = = 由正项级数比较判别法： 1 8 ! 8 lim lim 0 1 ( 1)!8 1 n n n n n n n + → → = = + + ， 1 (8 ) . ! n n i n = 为绝对收敛 1 1 ( 1) 1 (3) 2 n n n n n = = − 因为 和 都收敛， 1 ( 1) 1 [ ] 2 n n n i n = − + 收敛， 1 1 ( 1) ( 1) 1 [ ] . 2 n n n n n i n n = = − − 但 为条件收敛，所以 为条件收敛 +