第二章解析函数 ■内容提要:解析函数是复变函数研究的主 要对象.在理论和实际问题中有着广泛的 应用,本章在介绍复变函数导数的概念和 求导法则的基础上,着重讲解析函数的概 念,判别方法及重要性质 2021/224
2021/2/24 4 第二章 解析函数 ▪ 内容提要：解析函数是复变函数研究的主 要对象．在理论和实际问题中有着广泛的 应用，本章在介绍复变函数导数的概念和 求导法则的基础上，着重讲解析函数的概 念，判别方法及重要性质．
第二章解析函数 >2.1解析函数的概念 >22解析函数和调和函数的关系 >23初等函数 本章小结 今思考题 2021/224
2021/2/24 5 第二章 解析函数 ➢2.1 解析函数的概念 ➢2.2 解析函数和调和函数的关系 ➢2.3 初等函数 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节解析函数的概念 一、复变函数的导数与微分 导数定义 定义1设函数〃=f(-)在点=的某邻域内有定义,二+△是该邻域内任意一点, 函数的增量Aw=f(=a+△)-f(=)如果极限m3+△)-f( 0)存在 △z→>0 △z 则称函数(-)在二处可导,此极限值称为f()在处的导数, 即:f(=0) lin f(z+△)-f(=0) az △z→>0 说明:(1)E-δ语言描述:VE>0,36(a)>0,当0<<o时, 都有 f(二a+△)-f(=0) f(=0)<E 2定义中+①(即→0的方式是任意的,定义中极限值存在的要球 与z+Az→z0的方式无关; (3)若()在D内处处可导,就说f(=)在区域D内可导 2021/224
2021/2/24 6 第一节 解析函数的概念 ➢ 一、复变函数的导数与微分 1．导数定义 0 定义 设函数 在点 的某邻域内有定义， 1. ( ) w f z z = 0 z z + 是该邻域内任意一点， 0 0 函数的增量 ， = + − w f z z f z ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) lim z f z z f z z → + − 如果极限 存在， 0 则称函数 在 处可导， f z z ( ) 0 此极限值称为 在 处的导数， f z z ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) | lim , z z z dw f z z f z f z dz z = → + − = = 即： 说明： (1) 0, ( ) 0, 0 − 语言描述： 当 时， z (3)若 在 内处处可导，就说 在区域 内可导. f z D f z D ( ) ( ) 0 0 (2)定义中 即 的方式是任意的，定义中极限值存在的要求 z z z z + → → ( 0) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) f z z f z f z z + − − 都有0 0 与 的方式无关； z z z + →
例1.求函数(2)==的导数 解:i f(二+△)-f( =hn(z+△ =lim(2z+△)=2z △z △z A→0 所以f(z)=2 例2.函数f()=z=x-i是否可导? 解 f(=+△=)-f()z+△-zz+A z△z△x △z L△x+i (1)若z+A沿平行于实轴方向趋向于z,即△=0,而Ax→00 则有lim f(z+△=)-f(=) △x-i△ Im △z→>0 △x→0,Ay=0△x+△y (2)若2+沿平行于虚轴方向趋向于2,即Ax=0,而Ay>0, 则有limf(2+A)-f()=1m △x-i△y △→ Ay→0,Ax=0△x+iv 故f(二)=z=x-iy不可导 2021/224
2021/2/24 7 • 例 1 ． 2 求函数 的导数 f z z ( ) . = 解： 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim lim (2 ) 2 z z z f z z f z z z z z z z z z → → → + − + − = = + = 所以f z z ( ) 2 . = • 例 2 ．函数 是否可导？ f z z x iy ( ) = = − f z z f z z z z z z z z ( ) ( ) z z z z + − + − + − === 解： x i y x i y − = + （）若 沿平行于实轴方向趋向于 ， 1 z z z + 即 ，而 ， = → y x 0 0 0 0, 0 ( ) ( ) lim lim 1 z x y f z z f z x i y → → = z x i y + − − = = + 则有 （ ）若 沿平行于虚轴方向趋向于 ， 2 z z z + 即 ，而 ， = → x y 0 0 0 0, 0 ( ) ( ) lim lim 1 z y x f z z f z x i y → → = z x i y + − − = = − + 则有 故 不可导. f z z x iy ( ) = = −
2.可导与连续关系 从例2从可以看出:函数f(x)=z=x-iy处处连续,但处处不可导,反之可导必连续 结论:函数=()在=可导,则在=处必连续,反之不成立 证明:由导数的定义可知f(a)=limf(+△)-f(在分 △z→)0 △z vE>036(2)>0当0<14<时,都有 f(=0+△)f(0) <8 令p(A2)-f(=+△=)-f(=-f(=) 那么lmp(△z)=0 A一 f(=0+△)-f(=0)=f(=0)A+p(△)A 所以imf(=0+△)=f(二0) 即函数f(=)在点二处连续 2021/224
2021/2/24 8 2．可导与连续关系 从例2从可以看出： 函数 处处连续，但处处不可导，反之可导必连续. f z z x iy ( ) = = − 0 0 结论： 函数 在 可导，则在 处必连续，反之不成立 w f z z z = ( ) . 证明： 0 0 0 ( ) ( ) 0, ( ) 0, 0 ( ) f z z f z z f z z + − − 当 时，都有 由导数的定义可知 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim z f z z f z f z z → + − = 存在 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f z z f z z f z z + − = − 令 0 lim ( ) 0 z z → 那么 = 0 0 0 + − = + f z z f z f z z z z ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim ( ) ( ) z f z z f z → 所以 + = 0 即函数 在点 处连续 f z z ( )
3.求导法则 (1)(Cy=0,(其中C为常数) (2)(z")=nn,、其中n为正整数) (3)[f(=)±g()=f(=)±g(z) (4)[f(z)·g(z)=f()·g(=)+f(=)·g(=) (5) f(=) [f(z)·g(z)-f(=)·g()g(=)≠0 g [g(z)2 (6){f[g(-)}=f(w)g'(=),W=g(=) (7)f(二)= w=f()与=0)是互为反函数且单值函数,()≠0 o'(w) 结论:由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数 在形式上完全相同,而且极限的运算法则也一样,因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中去 2021/224
2021/2/24 9 3．求导法则 (1) ( ) 0, C C = （其中 为常数） 1 (2) ( ) , n n z nz n − = （其中 为正整数） (3) [ ( ) ( )] ( ) ( ) f z g z f z g z = (4) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f z g z f z g z f z g z = + 2 ( ) 1 (5) [ ( ) ( ) ( ) ( )], ( ) 0 ( ) [ ( )] f z f z g z f z g z g z g z g z = − (6) { [ ( )]} ( ) ( ), ( ) f g z f w g z w g z = = 1 (7) ( ) , ( ) ( ) ( ) 0. ( ) f z w f z z w w w = = = 与 是互为反函数且单值函数， 结论：由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数 在形式上完全相同，而且极限的运算法则也一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中去．
4.微分的概念 复变函数的微分在形式上与一元实函数的微分概念一样,因此类似有: △=f(-+A)-f(二0)=f(a)N+o4,△→0称()在处可微 而f(二)是=f(x)改变量A主要部分,称f(二)是函数W=f()在 二处的微分,记作dh=f(0)A 结论:函数(2)在处可微f()在处可导 证明:→设函数p=f(=)在=处可导,则 NP=/=+42)-/(=)=/()+以(△A其中x)=04 因此p(△)A是A的高阶无穷小量 →△w=f(=0+A)-f(=0)=f(=0)A+oA,A→0 2021/224
2021/2/24 10 4．微分的概念 0 0 0 = + − = + w f z z f z f z z z z ( ) ( ) ( ) ( ) , 复变函数的微分在形式上与一元实函数的微分概念一样，因此类似有： 0 设函数 在 处可导，则 w f z z = ( ) 0 lim ( ) 0 z z → 其中 ， = 因此 是 的高阶无穷小量 ( ) z z z 0 而 是 改变量 主要部分， f z z w f z w ( ) ( ) = 0 0 结论：函数 在 处可微 在 处可导. f z z f z z ( ) ( ) 0 0 0 = + − = + → w f z z f z f z z o z z ( ) ( ) ( ) , 0 0 称 在 处可微, f z z ( ) 0 记作dw f z z = ( ) . 0 称 是函数 在 f z z w f z ( ) ( ) = 0 点 处的微分， z 0 0 0 = + − = + → w f z z f z f z z o z z ( ) ( ) ( ) , 0 证明：
二、解析函数 在复变函数理论中,重要的不是只在个别点可导的函数,而是在 区域D内内处处可导的函数,即解析函数. 1.解析函数的概念 (1)如果函数f(-)在=0及〓的某一邻域内处处可导,那么称f(=)在=处解析 (2)如果函数∫(z)在区域呐内每一点都解析,那么称f(=)在D内解析, 或称(z)是D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数) (3)若f(=)在=处不解析,那么称。为函数f()的奇点 注意:(1)函数在区域内解析与在区域内可导是等价的; (2)函数在一点处解析和可导是两个不等价的概念,即在 点处可导不一定在该点解析反之函数在点解析,必在二处可导 2021/224
2021/2/24 11 ➢ 二、解析函数 在复变函数理论中，重要的不是只在个别点可导的函数，而是在 区域D内内处处可导的函数，即解析函数． 1．解析函数的概念 0 0 0 (1)如果函数 在 及 的某一邻域内处处可导，那么称 在 处解析 f z z z f z z ( ) ( ) ; (2) ( ) ( ) 如果函数 在区域 内每一点都解析，那么称 在 内解析， f z D f z D 或称 是 内的一个解析函数(全纯函数或正则函数). f z D ( ) 0 0 (3) ( ) ( ) 若 在 处不解析，那么称 为函数 的奇点. f z z z f z 注意：（1）函数在区域内解析与在区域内可导是等价的； （2）函数在一点处解析和可导是两个不等价的概念，即在一 点处可导不一定在该点解析； 0 0 反之函数在 点解析，必在 处可导. z z
例3.研究函数/(=)=2,g(x)=x-m,M)+=P的解析性 解:(1)前面章节中已经讨论过函数f(x)=2在整个复平面上处处可导, 所以在整个复平面处处解析 (2)已经讨论过函数g(=)=x-在整个复平面上处处不可导, 所以在整个复平面处处不解析 (3)讨论函数h(z)=zP的解析性 任取,由于lm=+4)= +△ A→》0 (二0+△)(二0+A) z。△z+z0△z+△z△z lin(z0+N+0△ )=二0+=01 =O时,f(O)=0; A→少0△z 0≠O时,让+△沿直线y-y0=k(x-x)趋向于二0 Ay=一N=1点随着的变化而变化, 1+ 故(二)=在=0可导,而其它点却不可导,函数在复平面上处妙不解析 2021/224
2021/2/24 12 • 例3． 2 2 研究函数 ， ， 的解析性 f z z g z x iy h z z ( ) ( ) ( ) | | . = = − = 解： 2 (1)前面章节中已经讨论过函数 在整个复平面上处处可导， f z z ( ) = 所以在整个复平面处处解析． (2)已经讨论过函数 在整个复平面上处处不可导， g z x iy ( ) = − 所以在整个复平面处处不解析． 2 (3) ( ) | | . 讨论函数 的解析性 h z z = 2 2 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim z z h z z h z z z z z z → → + − + − = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )( ) lim lim z z z z z z z z z z z z z z z z → → + + − + + = = 0 0 0 0 0 0 lim ( ) lim , z z z z z z z z z z z → → = + + = + 0 任取 ，由于 z 0 当 时， ； z f = = 0 (0) 0 0 0 0 0 0 当 时，让 沿直线 趋向于 ， z z z y y k x x z + − = − 0 ( ) 1 1 1 1 y i z x i y ki x z x i y ki y i x − − − = = = + + + 随着 的变化而变化， k 2 0 故 在 可导，而其它点却不可导， h z z z ( ) | | 0 = = 函数在复平面上处处不解析
例4.研究函数v=-的解析性 解:m=1复平面内除点z=0外处处可导,且=-1 dz 所以在除z=0外的复平面内,函数处处解析, 而z=0是它的奇点 定理1:在区域内解析函数的和、差、积、商(除去分母为0的点)在D内解析 定理2:设函数h=g)在=平面上的区域D内解析,y=/(b)在平面上的区域G痛 如果对的每一个点函数g(的对应值都属于G那么复合函数=ng(=)在O内解析 定理P(在分母不为的点的区域内是解析函数使分母为的点是函数奇点 任何有理分式函数 Q(=) 2021/224
2021/2/24 13 • 例4． 1 w . z 研究函数 的解析性 = 解： 2 1 1 0 dw w z z dz z = = = − 复平面内除点 外处处可导，且 ， 所以在除 外的复平面内，函数处处解析， z = 0 而 是它的奇点. z = 0 定理1：在区域D内解析函数的和、差、积、商（除去分母为0的点）在D内解析 定理2：设函数． h g z z D = ( )在 平面上的区域 内解析，w f h h G = ( )在 平面上的区域 内解析, 如果对 内的每一个点 ，函数 的对应值都属于 D z g z G ( ) , 那么复合函数 在 内解析 w f g z G = [ ( )] . 定理3：任何有理分式函数 ( ) 0 , 0 ( ) P z Q z 在分母不为 的点的区域内是解析函数 使分母为 的点是函数奇点