第一章 复数与复变函数 内容提要:复变函数就是自变量为复数的函数, 本章先学习复数的概念、性质与运算,然后再 引入平面上的点集、复变函数极限、连续.本 章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基 本概念有相似之处,可以把它们看作微积分学 中相应的概念及定理在复数域中的推广 2021/224
2021/2/24 4 第一章 复数与复变函数 ▪ 内容提要：复变函数就是自变量为复数的函数， 本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再 引入平面上的点集、复变函数极限、连续．本 章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基 本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学 中相应的概念及定理在复数域中的推广．
第一章 复数与复变函 数 >11复数 >1.2复数的三角表示 >1.3平面点集的一般概念 >14无穷大与复球面 >1.5复变函数 本章小结 ☆思考题 2021/224
2021/2/24 5 第一章 复数与复变函 数 ➢1.1 复数 ➢1.2 复数的三角表示 ➢1.3 平面点集的一般概念 ➢1.4 无穷大与复球面 ➢1.5 复变函数 ❖ 本章小结 ❖ 思考题
第一节复数 一、复数的基本概念 定义1:设x与y都是实数,称x+i为复数 记为:z=x+jy 称x为的实部(Real),记Rez=x 称y为z的实部( Imaginary,记Iz=y 例如:==√2+则Rez=√2,Imz=1 特别地,当y=O)时,则z=x为实数; x=0且y≠O时则=称为纯虚数; 2021/224
2021/2/24 6 第一节 复数 ➢ 一、复数的基本概念 称 为 的实部 记 x z al z x (Re ), Re = 称 为 的实部 记 y z z y (Imaginary), Im = 例如：z i = + 2 , 则Re 2, Im 1 z z = = 当 且 时 则 称为纯虚数； x y z iy = = 0 0 , , 特别地，当 时 则 为实数； y z x = = 0 , 定义 ：设 与 都是实数，称 为复数， 1 x y x iy + 记为：z x iy = +
定义2:设两复数=x+与=2=x2+2,则1=2x=x,y1=y2 即Rez1=Rez2,Imz1=Imz 二、复数的代数运算 1.复数的和、差、积、商 设复数1=x1+i1与2=x2+2,则 和与差:x1土2=(x1+x)土(y1+2) 积商 :1·2=(xx2-yy2)+1(xy2+x2y) x+)+(2-xy2 xix2tv1y2 ),2≠0 ()复数的运算满足交换律、结合律、分配律 2021/224
2021/2/24 7 1 1 1 2 2 2 定义2：设两复数 与 ， z x iy z x iy = + = + 1 2 1 2 1 2 则 ， z z x x y y = = = Re Re , Im Im 1 2 1 2 即 z z z z = = ➢ 二、复数的代数运算 1 1 1 2 2 2 设复数 与 ，则 z x iy z x iy = + = + 1.复数的和、差、积、商 1 2 1 2 1 2 和与差： z z x x i y y = + ( ) ( + ) 积： 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z z x x y y i x y x y = − + + ( ) ( ) 商： 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ), 0 z x x y y x y x y i z z x y x y + − = + + + 复数的运算满足交换律、结合律、分配律．
2.共扼复数及性质 定义3:设复数=x+j,则称复数x-y为的共轭复数,记做z 重要性质: (1)1±2=1+2,12=2 (3)z2=(Rez)2+(mz)2=|21 (4)2+2=2Re2, 2-2=2iImz 复数的共扼性质在实际计算和证明中有广泛应用 2021/224
2021/2/24 8 2．共扼复数及性质 定义3：设复数 ，则称复数 为 的 ，记做 z x iy x iy z z = + − 共轭复数 重要性质： 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 (1) , , z z z z z z z z z z z z = + = = (2) (z z ) = 2 2 2 (3) (Re ) (Im ) z z z z z =+= (4) 2Re z z z + = , 2 Im z z i z − = 复数的共扼性质在实际计算和证明中有广泛应用
例1.计算复数32 解:法一(商的公式) X,x2 t y,y, 2-xy23.2+(-2)3,:2(-2)-3.3 十l x2+y2 x2+y2 22+3 22+3 法二(共轭性质) ¨=2_(3-2(2-3)(6-6)+(-4-9 (2+31)(2-3i) 22+3 应用共扼性质来计算显得简单,在后面计算 中要灵活运用共轭 2021/224
2021/2/24 9 • 例1．计算复数 3 2 2 3 i i − + 解： 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) z x x y y x y x y i z x y x y + − = + + + 2 2 2 2 3 2 ( 2) 3 2 ( 2) 3 3 2 3 2 3 i i + − − − = + = − + + 法一（商的公式） 法二（共轭性质） ___ ___ 1 1 2 1 2 ___ 2 2 2 2 2 | | z z z z z z z z z = = 2 2 (3 2 )(2 3 ) (6 6) ( 4 9) (2 3 )(2 3 ) 2 3 i i i i i i − − − + − − = = = − + − + 应用共扼性质来计算显得简单，在后面计算 中要灵活运用共轭
例2.设(x+y+2)+(x2+y)2=0.,求实数x,y 解:由题意得 +y+2=0 y=0 x三 x=2 解得: 或 例3.设复数z 求Re(=),Im(z)与二2 l 解:因为z= 31(+)3 )(-)1+1)22如 所以Rez=,Imz=-,zz 5 2021/224
2021/2/24 10 • 例2． 2 设（ 求实数 x y i x y x y + + + + = 2) ( ) 0, , . 解： 2 2 0 , 0 x y x y + + = + = 由题意得 1 2 . 1 4 x x y y = − = = − = − 解得： 或 • 例3． 1 3 , Re( ), Im( ) . 1 i z z z zz i i = − − − 设复数 求 与 解： 1 3 1 i z i i = − − − 因为 3 (1 ) 3 1 ( ) (1 )(1 ) 2 2 i i i i i i i i + = − = − − − + 3 1 3 1 5 2 2 Re , Im , ( ) ( ) 2 2 2 2 2 所以 z z z z = = − = + − =
例4.设=x+m,2=x2+y2为两个任意复数 证明:x12+12=2Re=12 证明:=2+212=(x+Xx2-)+(x-Xx+) (xx2+y1y2)+1(x21-x1y2)+(x1x2+y1y2)-(x21-x1y2) =2(x1x2+yy2)=2Re122 证法二:12+12=x12+12 2Re(二1=2)=2Re(=1=2) 2021/224
2021/2/24 11 • 例4． 1 1 1 2 2 2 设 为两个任意复数， z x iy z x iy = + = + , 证明： 1 2 1 2 1 2 证明：z z z z z z + = 2Re 1 2 1 2 1 1 2 3 1 1 2 2 z z z z x iy x iy x iy x iy + = + − + − + ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 = + + − + + − − ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y i x y x y x x y y i x y x y 2 1 2 1 2 1 = + = 2( ) 2Re x x y y z z 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z z z + = + 1 2 1 2 = = 2Re( ) 2Re( ) z z z z 证法二：
第二节复数的表示法 一、复平面 定义:由实轴(x轴),虚轴(1轴)按直角坐标系构成的平面, 称为复平面(或z平面) 在复平面内任一点M(x,y)与复数=x+是一一对应 复数的模:|=√x2+y2 虚轴 复数的幅角:θ=Arg X+Iy 主幅角:argz∈(-z,z] Argz=arg z+2k (k=0,tl,+2 实轴 即:一复数的辐角Argz是多值的 复平面 2021/224
2021/2/24 12 第二节 复数的表示法 ➢一、复平面 定义： 由实轴 轴，虚轴 轴 按直角坐标系构成的平面， ( ) ( ) x y 称为复平面（或z平面） o 实轴 虚轴 复平面 在复平面内任一点 与复数 是一一对应 M x y z x iy ( , ) = + x iy + y x 复数的模： 2 2 z x y r = + = z 复数的幅角： = Argz 主幅角： argz −( , ] Argz z k k = + = arg 2 ( 0, 1, 2, ) 即：一复数的辐角Argz是多值的
复数、复平面上点、向 >二、复数的表示法 虚轴 量之间一一对应 itil M 1.复数的向量表示法 OM=2=x+iy 实轴 因此|=r=√x+y2,tan(4g=) 复平面 显然有不等式:s≤x+1y12|x-y:==1+=2 2-表示与的距离 共轭复数之间的几何关系: z=x+iy与z=x-iy,关于x轴对称 且有:1=,arg=-aB 7 2021/224
2021/2/24 13 ➢二、复数的表示法 1．复数的向量表示法 OM z x iy = = + 因此 2 2 z r x y = = + , tan( ) y Argz x = 显然有不等式： x z y z z x y z x y + − , , , ; 2 2 zz z z = = z o 实轴 虚轴 复平面 x iy + x y M 2 1 1 2 z z z z − 表示 与 的距离 1 z 2 z 复数、复平面上点、向 量之间一一对应 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z z z + + − − , 共轭复数之间的几何关系： z x iy z x iy x = + = − 与 ，关于 轴对称 1 z x y o 且有：z z z z = = − , arg arg