第七章拉普拉斯变换 2021/224
2021/2/24 4 第七章 拉普拉斯变换
第七章拉普拉斯变换 7.1拉普拉斯变换的概念 >7.2拉氏变换的性质 >7.3拉普拉斯逆变换 >7.4拉氏变换的应用及综合举例 本章小结 ☆思考题 2021/224
2021/2/24 5 第七章 拉普拉斯变换 ➢7.1 拉普拉斯变换的概念 ➢7.2 拉氏变换的性质 ➢7.3 拉普拉斯逆变换 ➢7.4 拉氏变换的应用及综合举例 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节拉普拉斯变换的概念 1.拉普拉斯变换的定义 + 定义:设函数()当>O时有定义,而积分f()e"db,(s为一个复参量) 在某一域内收敛,则称F()=f(edt为函数()的拉普拉斯变换式 记为:F(s)=Lf()] F(s)称为函数f(t)的拉氏变换,f(x)称为函数F()拉氏逆变换, 记为:f(1)=L[F() 函数f(t)t≥0舶拉氏变换就是f(t)u(t)e,(B>0)舶傅氏变换 2021/224
2021/2/24 6 第一节 拉普拉斯变换的概念 1．拉普拉斯变换的定义 0 1 ( ) 0 ( ) st f t t f t e dt s + − 定义 ：设函数 当 时有定义，而积分 ，（ 为一个复参量） 在 某一域内收敛， s 0 ( ) ( ) ( ) st F s f t e dt f t + − = 则称 为函数 的拉普拉斯变换式， 记为：F s L f t ( ) [ ( )]. = F s f t ( ) ( ) 称为函数 的拉氏变换，f t F s ( ) ( ) 称为函数 的拉氏逆变换， 1 f t L F t ( ) [ ( )]. − 记为： = ( ) ( 0) ( ) ( ) ( 0) t f t t f t u t e − 函数 ， 的拉氏变换就是 ， 的傅氏变换.
t>0 例1.求单位阶跃函数() 0,t0 变换为哪 个?? 即:L)=1,R(s)>0 (2)Ln]=「(snD)e -st dt= o e-dt e Re(s)>o S 即: LIgnt]=-,Re(S)>0; (3-e"b=-e"|"=,Re(s)> 即:L[1]=-,Re(s)>0 2021/224
2021/2/24 7 • 例1． 1, 0 0, 0 ( ) sgn 0, | | 0 1, 0 1, 0 t t u t t t t t = = = − 求单位阶跃函数 ，符号函数 ， f t( ) 1= 的拉氏变换. 解： 0 (1) [ ( )] st L u t e dt + − = Re( ) 0 s 0 1 1 , st e s s − + = − = 1 L u t s [ ( )] ,Re( ) 0 s 即： ； = 0 0 0 1 1 (2) [sgn ] (sgn ) , st st st L t t e dt e dt e s s + + − − − + = = = − = Re( ) 0 s 1 L t s [sgn ] ,Re( ) 0 s 即： ； = 0 0 1 1 (3) [1] , st st L e dt e s s + − − + = = − = Re( ) 0 s 1 L s [1] ,Re( ) 0. s 即： = 1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
一般规定:在拉氏变换中f(t)均理解为:f(t)=0,t0 的象原函数可写为f(2)=1,即:L[=1 S 例2.求指数函数()=的拉氏变换(k为实数) 解:LO)=e"e"d=Je e k k R(S-k)>0 即:e]= (Re(s)>k) k 由上式可得: k (Re(s)>-k), L[eJor S-(Re(s)>0) 2021/224
2021/2/24 8 • 例2． ( ) . kt 求指数函数 的拉氏变换（ 为实数） f t e k = 解： ( ) 0 0 [ ( )] kt st s k t L f t e e dt e dt + + − − − = = R s k ( ) 0 − ( ) 0 1 1 , s k e s k s k − − + = − = − − 1 [ ] , (Re( ) ). kt L e s k s k = − 即： 1 [ ] , (Re( ) ), kt L e s k s k − = − + 1 [ ] , (Re( ) 0). j t L e s s j = − 由上式可得： 一般规定：在拉氏变换中 均理解为： ， f t f t t ( ) ( ) 0 0. = 1 1 f t L ( ) 1, [ ] 1. s − 的象原函数可写为 即： = = 1 f t t f t u t t F s s ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) Re( ) 0 s 即写下 时，理解为 ，象函数 ， = = =
2.拉氏变换的存在定理 定理1:(拉氏变换的存在定理)若函数()满足下列条件: (1)在t≥0的任一有限区间上分段连续; (2)当t→+∞时,f()的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数M>0及c≥0,使得f()≤Me,0≤tc上 定存在,且为解析函数 说明: (1)这个定理的条件是充分的,物理学和工程技术中常见 的函数大都能满足这个条件, (2)一个函数的增大是指数级的和函数绝对可积的条件相 比要弱的多 2021/224
2021/2/24 9 2．拉氏变换的存在定理 定理1:(拉氏变换的存在定理) 若函数 满足下列条件： f t( ) (1) 0 在 的任一有限区间上分段连续； t (2) ( ) 当 时， 的增长速度不超过某一指数函数， t f t → + 0 0 ( ) 0 . ct 即存在常数 及 ，使得 ， 成立 M c f t Me t + 0 ( ) ( ) ( ) Re( ) st f t F s f t e dt s c + − = 则函数 的拉氏变换 在半平面 上 一定存在，且为解析函数． 说明： （1）这个定理的条件是充分的，物理学和工程技术中常见 的函数大都能满足这个条件， （2）一个函数的增大是指数级的和函数绝对可积的条件相 比要弱的多．
例3.求正弦函数(O)=sink,k为实数的拉氏变换 解:因为imk<e",M=1c=0 所以满足拉氏变换存在定理中的条件, →lnk]= sin ktes dt -st [-sin kt-k cos k ]o s+k s4+k 同理可以得到: LIcos kt S s<+k 2021/224
2021/2/24 10 • 例3．求正弦函数 ， 为实数的拉氏变换. f t kt k ( ) sin = 解： 0 sin , 1, 0, t 因为 kt e M c = = 所以满足拉氏变换存在定理中的条件， 0 [sin ] sin st L kt kte dt + = − 2 2 2 2 0 [ sin cos ] st e k kt k kt s k s k − + = − − = + + 2 2 [cos ] . s L kt s k = + 同理可以得到：
3r函数介绍 形如。c'rmdm>0的函数称为珈玛函数,记为r(m)即 r(m)=et"dt I函数性质:I(m+1)=m(m),特别当m为正整数时,I(m+1)=m! r()=e12=2eoh(=n,b=2n)=2 例4.求幂函数()=m、(m>0)拉氏变换 解: :[t" et"at→>r(m)= 0 +∞ st) d(st t e r(m+1) (m>-1,Re(s)>0) 2021/224
2021/2/24 11 • 例4． ( ) , ( 0) m 求幂函数 的拉氏变换. f t t m = 解： 0 [ ] m st m L t e t dt + − = 1 0 ( ) , t m m e t dt + → = − − 0 ( ) ( ) m st m st d st e s s + − = 1 0 1 m t m t e dt s + − + = 1 ( 1) , ( 1,Re( ) 0). mm m s s + + = − 3.函数介绍 1 0 ( 0) ( ), t m e t dt m m + − − 形如 ， 的函数称为珈玛函数，记为 即 1 0 ( ) . t m m e t dt + − − = 函数性质： + = ( 1) ( ), m m m 特别当 为正整数时， m m m + = ( 1) ! 2 12 2 0 0 1 ( ) 2 , ( , 2 ) 2 t u e t dt e du t u dt udu + + − − − = = = = 2 . 2 = =
4.查表求拉氏变换(拉氏变换附表) 例5.求函数si2si3的拉氏变换 解:Lin2sin3附表第20式:a=2,b=3 12s 12s +52)s2+12)(s2+25s2+1) 例6.求函数=(01-si的拉氏变换 解 这个函数拉氏变换公式不能直接找到 e (cos bt-sin bt) Icos bt-cos(--bt)1 (-2sin(-b) 附表第17式:a=-b,b= 丌 -bt (S+b)sin+(b)cos L[F(coS bt-sin bt) (s+b)2+(-b)2 2(s2+2bs+2b 2021/224
2021/2/24 12 4．查表求拉氏变换（拉氏变换附表） • 例5．求函数 的拉氏变换. sin 2 sin 3 t t 解： L t t [sin 2 sin 3 ] 附表第20式： a b = = 2, 3 2 2 2 2 2 2 12 12 . ( 5 )( 1 ) ( 25)( 1) s s s s s s = = + + + + • 例6． (cos sin ) 2 bt e bt bt − 求函数 的拉氏变换. − 解：这个函数拉氏变换公式不能直接找到， 2 (cos sin ) [cos cos( )] ( 2 sin( )) 2 2 2 2 2 4 bt bt bt e e e bt bt bt bt bt − − − − = − − = − − 附表第17式： , 4 a b b = − = 2 2 2 2 ( )sin ( )cos 2 4 4 [ (cos sin )] . 2 ( ) ( ) 2( 2 2 ) bt s b b e s L bt bt s b b s bs b − + + − − = = + + − + +
第二节拉氏变换的性质 、线性与相似性质 1.线性性质 设a,B为常数,且有Lf(O)=F(O),L/2(1)=F2(),则有: L[axf(1)+Bf2(=aF(o)+BF2(o),L[aF(o)+BF2(o)=af(1)+Bf() °例1.求函数coso的拉氏变换 解:由于 cos ot=(el+e-m),Lem → Lcos ot]=(Lem]+Le]), S 2 s-Jo s+jo 2021/224
2021/2/24 13 第二节 拉氏变换的性质 1．线性性质 1 1 2 2 设 为常数，且有 ， ， , [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) L f t F L f t F = = 则有： 1 2 1 2 L f t f t F F [ ( ) ( )] ( ) ( ), + = + 1 1 2 1 2 L F F f t f t [ ( ) ( )] ( ) ( ). − + = + • 例1．求函数 的拉氏变换. cost 解： 1 cos ( ) 2 j t j t t e e − 由于 ， = + 1 [ ] , j t L e s j = − 1 [cos ] ( [ ] [ ]), 2 j t j t L t L e L e = + − 2 2 1 1 1 [ ] . 2 s s j s j s = + = − + + ➢ 一、线性与相似性质