第二章初等模型 (初等数学方法建模) §1席位分配 §2双层玻璃窗的功效 §3划艇比赛的成绩 §4录象机计数器的用途 §5实物交换 §6传送带的效率 §7*启帆远航 §1席位分配 问三个系学生共200名(甲系100,乙系6, 丙系40)。代表会议共20席,按比例分 题配,三个系分别为10,6,4席。 现因学生转系,三系人数为103,63,34。问20席如何分配 若增加为21席,又如何分配 系别学生比例20席的分配21席的分配 比例 人数(%)比例结果比例结果对 加甲10351.510.31010.81511丙 系 惯乙6331.56.366.6157公 例丙3417.03.443.5703平 总和200100.020.02021.00021吗 1
舍弃惯例,寻找公平的分配方法 建立衡量公平分配的数量指标 人数席位 当P=P2/时,分配公平 B方P2n2 若 对A不公平 n1 对A的绝对不公平度 p1=150,n1=10,p1/n1=15P=1050,n1=10,p/=105 p2=100,n2=10,p2/n2=10p2=1000,n2=10,p2n2=100 p/n1-p2/n2 p/n1-p2/n2= 虽二者的绝对但后者对A的不公 不公平度相同平已大大降低! 将绝对度量改为相对度量 若 P 2,定义 、p2/ny=r(n1,n2)~对A的相对不公平度 n2 类似地定义rB(n1n2) 公平的分配方案应使r4,rn尽量小 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即 设A,B已分别有n1,n2席,若增加1席,问应分给A,还是B 不设初始Pm12>Dmn2,即对A不公平
应讨论以下几种情况:初始Pm1>3m2 若(n1+1) 则这席应给A 2)若P 应计算r(n1+1,n2) (n1+ 3)若Pm1D3(m2+1),应计算a,n+1) P (n2+1)是否会出现? 若rn(n1+1,n2)<rA(m1,n2+1,则这席应给A 反之,给B 当r(1+1,n2)<r(m1,n2+1),该席给A 几rArB的定义 p2 n2(m2+1)m(m+1)该席给A 否则,该席给B 定义Q i=1,2,该席给Q值较大的一方 n;(n;+1 推广到m方分配席位,设访方人数p,席位n,若增加1席 该席给Q值 计算Q 1,2 n;(n;+1) 最大的一方 Q值方法
三系用Q值方法重新分配21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系:p1=103,n1=10 乙系:P2=63,n2=6 用Q值方法分配 丙系:P3=34,n3=3 第20席和第21席 20席 103 34 964,g 94.5,g3 10×11 Q1最大,第20席给甲系 103 2 第21席Q1 804,g2,g3同上 最大,第 l1×12 21席给丙系 分厘结果甲系1席,乙系6席,丙系4席公平吗? 进一步的讨论 Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗? 席位分配的理想化准则 已知:m方人数分别为p1,p2,pm,记总人数为 P=p1+p2+…+pm,待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1n2n (自然应有n1+n2+…+nm=N, 记q=Np/P,i=1,2,…m,若q均为整数,显然应n=q1 当q;不全为整数时,研究n;应满足的准则
! " " # " ! # #
记[q=foor(q)~向≤q:方向取整; [ql=cei(q)~向≥q方向取整 q=NpP不全为整数时,n应满足的准则」 1)[ql≤n1≤[ql(i=1,2,m),即n必取[q1,[q之 n1应是N和p1,…Pm的函数,记n1=n1(N,P1…Pmn) 2)n1(N,p1,pn)≤n1(N+1,p1,…Pn)(i=1,2,…m) 即当总席位增加时n不应减少 “比例加惯例”方法满足1),但不满足2 值方法满足2),但不满足1)(令人遗憾!) 多天82双层玻璃窗的功效菌 问双层玻璃窗与同样多材料的单层 题玻璃窗相比,减少多少热量损关/、1m2 . Q 热量传播只有传导,没有对流 假T,T,不变,热传导过程处于稳态 没 材料均匀,热传导系数为常数 热 导 △T 内 模定 传律 o= k Q-单位时间单位面积传导的热量一上 ΔT温差,d材料厚度,k热传导系数
# " ! $# % &'((# # $# %)* '# # $# % $# % " " " " $# % $# % + , , + ' + , , , , , + -
记双层玻璃留传导的热量Q嚼 I内层玻璃的外侧温度 T~外层玻璃的内侧温度 TI Q kˆ~玻璃的热传导系数 k~空气的热传导系数 T-T O,=k 1=k2-n T-T Q1=k1 s=h-l, h d(s+2) k 记单层玻璃窗传导的热量Q T1 Q1=k1 T-72 0,=k d(S+2) 室外工 双层与单层窗传导的热量之比 2,8=k,h=2<Q2 k1=4×103-8×103,k2=25×10-4,k1k2=16~32 对Q1比Q2的减少量 作最保守的估计,口= h Q,8h+1 取k1/k2=16
+ ' + , , ,D ,E ,. ,/ - - D D E E + , , - 0 0 -0 -- --
Q 模型应用 Q28h+1 取h=d=4,则Q1/Q2=0.03 +Q1Q2=1/(8h+1) 即双层玻璃窗与同样多材 料的单层玻璃窗相比,可006 减少97%的热量损失。 0.03 0.02 结果分析 Q1Q2所以如此小,是由于层间空气极低的热传 导系数k2,而这要求空气非常干燥、不流通 实际上,双层窗的功效不会如此之大。 §3划艇比赛的成绩 闻对四种赛纸(单人、双人、四人、八人)4次 题国际大赛冠军的成绩进行比较,发现与浆手数 有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。 赛艇200米成绩t(分)。艇长1艇宽b 空艇重wke 种类1234平均(米)(米)b张手数n 单人7167.257.287.177.217.930.293270163 双人6876926956.776.889760356274136 四人6336.426486136.321.3750.57421.0 八人|5.8759258257358418280.61030.014.7 准调查赛艇的尺寸和重量→,w/m基本不变
1 ' / '/ 2-3
题分析 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 前进动力~浆手的划浆功率 前进阻力~浸没部分与水的摩擦力 划浆 前进 赛艇 浆手 功率 动力 速度 数量 艇重 浸没个前进↑→赛艇 面积 阻力 速度↓ 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型 模型假设 符号:艇速v浸没面积s浸没体积A,空艇重wp, 阻力f,浆手数n,浆手功率p,浆手体重w,艇重W 1)艇形状相同(b为常数,wo与n成正比艇的静态特性 2)v是常数,阻力与sv2成正比 艇的动态特性 3)w相同,p不变,p与w成正比 浆手的特征 模型 npac fv fo sv2pw→ya(nsy3 建立 sI/2o a Aow(+nw)oc n So n23 →xn→「比赛成绩tn-1
4 4 4 4 '/ 2 5 & 65 ! " # $ 2 2 & 65 2 5 6 6 72 2 6 5 1 &5
模型利用4次国际大赛冠军的平均 检验」成绩对模型txn-1进行检验 721 6.32 46.32 5.84 5.84 anb- logt=a'+blog 最小二乘法 t=721n-0.11 §4录象机计数器的用途 经试验,一盘录象带从头走到尾 时间用了183分30秒,计数器读数 题 从0000变到6152。 在一次使用中录象带已经转过大半,计数器读数为 4580,问剩下的一段还能否录下1小时的节目? 要求不仅回苦问题,而且建立计数器读数与 录象带转过时间的关系 思考计数器读数是均匀增长的吗·
% & & ' '(3 '(3 1 1 4 4 4 4
观察」计数器读数增长越来越慢! 题分析」录象机计数器的工作原理 左轮盘 右轮盘 0000 计数器 主动轮 录象带磁头 压轮 区 录象带运动方向 录象带运动右轮盘半径增人1计数器读数增长变慢 录象带运动速度是常数 右轮转速不是常数 模型假设 录象带的运动速度是常数ⅴ; 计数器读数n与右轮转数m成正比,记m=kn 录象带厚度(加两圈间空隙)为常数w; 空右轮盘半径记作r 时间t=0时读数n=0 建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 (设V,k,w,r为已知参数)
4 5 4 - 4 2 4 4 1 1