《线性代数》第四章 向量组的线性相关性（4.1.4.2）线性方程组有解的判定条件、线性方程组的解法

生一、线性方程组有解的判定条件 问题:如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩, 讨论线性方程组Ax=b的解 定理1n元齐次线性方程组Amxx=0有非零解 的充分必要条件是系数矩阵的秩R(4)<n. 证必要性.设方程组Ax=0有非零解 上设R()=n则在4中应有一个m阶非零子式D,从而 D所对应的n个方程只有零解(根据克拉默定理

( ) . 1 0 R A n n Am n x   = 的充分必要条件是系数矩阵的秩 定 理 元齐次线性方程组 有非零解 一、线性方程组有解的判定条件 讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： 证 必要性. ( ) , , 设R A n 则在A中应有一个n阶非零子式Dn = D 所对应的 n个方程只有零解 (根据克拉默定理 ), n 从而 设方程组 Ax = 0 有非零解

这与原方程组有非零解相矛盾, 上:R(4)=n不能成立.即R(4)<n 王充分性,设R()=r<n 王则A的行阶梯形矩阵只含个非零行, 庄从而知其有n-r个自由未知量 任取一个自由未知量为1,其余自由未知量为0 上即可得方程组的一个非零解 上页

这与原方程组有非零解相矛盾，  R(A) = n 不能成立． 即 R(A) n. 充分性. 设 R(A)= r  n, 从而知其有n - r个自由未知量. 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解. 则 A的行阶梯形矩阵只含r 个非零行

庄定理2n元非齐次线性方程组Mmx=b有解 平的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩 阵B=(4)的秩 证必要性.设方程组Ax=b有解, 设R(小xR 则行阶梯形矩阵中最后二个非零行对脑矛盾 这与方程组有解相矛盾因此R(A)=R(B) 上页

证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) R(B), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１， ( , ) . 2 阵 的 秩 的充分必要条件是系数矩 阵 的秩等于增广矩 定 理 元非齐次线性方程组 有 解 B A b A n Am n x b =  = 这与方程组有解相矛盾.因此 R(A)= R(B)

充分性.设R(4)=R(B 设R(4)=R(B)=r(≤n 庄则E的行阶梯形矩阵中含个非零行 把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为 王非自由未知量 工工工 其余n-r个作为自由未知量, 并令n一r个自由未知量全取0, 牛即可得方程组的一个解 证毕 上页

并令n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 充分性. 设 R(A)= R(B), 设 R(A)= R(B)= r(r  n), 证毕 则 B的行阶梯形矩阵中含r 个非零行， 其余 n - r 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, r

c小结R(A)=R(B)=nAx=b有唯一解 R(4)=R(B)<n兮Ax=b有无穷多解. 定义:含有个参数的方程组的任一解,称为线性 方程组的通解 齐次线性方程组:系数矩阵化成行最简形矩阵, 便可写出其通解; 非齐次线性方程组:增广矩阵化成行阶梯形矩 阵,便可判断其是否有解.若有解,化成行最 简形矩阵,便可写出其通解; 上页

小结 R(A)= R(B)= n  Ax = b有唯一解 R(A)= R(B) n  Ax = b有无穷多解. 方程组的通解． 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；

生二、线性方程组的解法 上例1求解齐次线性方程组 x1+2x2+x3+x4=0 2x1+x2-2x3-2x4=0 x1-x,-4x2-3x1=0 解对系数矩阵A施行初等行变换 1221 1221 2r A=21-2-2 0-3-6-4 乃3 0-3-6 王页下

例1 求解齐次线性方程组 . 4 3 0 2 2 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4      - - - = + - - = + + + = x x x x x x x x x x x x 解           - - - = - - 1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 A           - - - - - - 0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 二、线性方程组的解法 对系数矩阵 A施行初等行变换： 3 1 2 2 1 r r r r - -

10,5, 1221 01 2 012 r2÷(-3) 3 000 0000 即得与原方程组同解的方程组 x-2x5 X= x2+2x3+x4=0, 3 上页

          0 0 0 0 3 4 0 1 2 1 2 2 1 ( 3) 2 3 2  - - r r r 1 2 2 r - r                 - - 0 0 0 0 3 4 0 1 2 3 5 1 0 2 即得与原方程组同解的方程组      + + = - - = 0, 3 4 2 0, 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x

由此即得x=233 45 5=2X5-3(x3,x1可任意取值) 令x3=c1,x4=C2,把它写成通常的参巍形式 =2c, (5) 29 =-2c 2 3 +c 3 3 =C1 0 0 =C 上页

         = = = - - = + , , , 3 4 2 , 3 5 2 4 2 3 1 2 2 2 1 2 2 x c x c x c c x c c ( , ). x3 x4 可任意取值 由此即得      = - - = + , 3 4 2 , 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 令 x3 = c1 , x4 = c2，把它写成通常的参数形式 . 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 1 2 4 3 2 1                 + -             - =                c c x x x x

士 例2求解非齐次线性方程组 x1-2x2+3x3-x4=1 3x1-x2+5x3-3x4=2, 2x1+x2+2x3-2x4=3. 解对增广矩阵B进行初等变换, 1-23-11)2-2 1-23-11 B=|3-15-325-05-40-1 212-235-(06-402 显然,R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解 王页下

例２ 求解非齐次线性方程组      + + - = - + - = - + - = 2 2 2 3. 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B进行初等变换，           - - - - - = 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 B 3 1 2 2 1 r r r r - -           - - - - - 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 3 2 r - r           - - - - 0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 显然，R(A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．

例3求解非齐次方程组的通解 x1-x2-x3+x4=0 x1-x2+x3-3x4=1 2-2x3+3x4=-1/2 解对增广矩阵B进行初等变换 1-110)(1-1-110 B=1-11-31 002-41 1-23-1/2丿(00-12-1/ 上页

例３ 求解非齐次方程组的通解 . 2 3 1 2 3 1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4      - - + = - - + - = - - + = x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B进行初等变换           - - - - - - - = 1 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 0 B           - - - - - 0 0 1 2 1 2 0 0 2 4 1 1 1 1 1 0 ~