008春季班 线性代数第二章矩阵代数 2-1 第2章矩阵代数 2.1矩阵的概念 由m个数排成m行n列的数表 12 21 22 2 n2 n 称为矩阵,记作A·其中称作矩阵A的第i行第j 列的元素 两个矩阵如果大小一样,就说他们是同型的 两个同型的矩阵,如果对应的元素也都一样,就 说这两个矩阵相等 若m=1,即A是1×n的 A=(a1,a2,…,an)称为行矩阵或行向量;若 n=1,即A是m×1的,A= 称为列矩阵或 列向量;若m=n=1,这是一个1×1的矩阵,只 有一个元素,就看成是一个数,按数的规律进行运算
2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2—1 第2章 矩阵代数 2.1 矩阵的概念 由mn个数排成m行n列的数表 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m mn n n a a a a a a a a a " " " " " " " 1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵，记作 A．其中aij称作矩阵 A的第i行第 j 列的元素． 两个矩阵如果大小一样，就说他们是同型的． 两个同型的矩阵，如果对应的元素也都一样，就 说这两个矩阵相等． 若 m = 1 ， 即 A 是 1× n 的 ， ( ) A a a an , , , = 1 2 " 称为行矩阵或行向量；若 n = 1，即 A是m ×1的， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m a a a A # 2 1 称为列矩阵或 列向量；若m = n = 1，这是一个1×1的矩阵，只 有一个元素，就看成是一个数，按数的规律进行运算．
2008春季班 线性代数第二章矩阵代数 2.2矩阵的运算 两个同型的矩阵可以做加法,它们的和是和它们 同型的矩阵,相加的规则是矩阵中对应的元素相 加.即 设A B nxn xn a+B +b j十U xn 矩阵加法的运算性质: (1)交换律A+B=B+A; (2)结合律A+(B+C)=(4+B)+C; (3)有零矩阵0,对任意矩阵A,有 A+0=0+A=A; (4)任意矩阵A,都有负矩阵-A,使得 A+(-A)=0 其中-A=(-a j 设k是一个数,A=(an),则数k和矩阵A nxn 的数乘为 kA=lke xn 设k,l是两个常数,A,B是同型矩阵,则 (1)1A=A,0A=0;
2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2—2 2.2 矩阵的运算 两个同型的矩阵可以做加法，它们的和是和它们 同型的矩阵，相加的规则是矩阵中对应的元素相 加．即 设 ( )m n A aij × = ， ( )m n B bij × = ，则 ( )m n A B aij bij × + = + ． 矩阵加法的运算性质： （１） 交换律 A + B = B + A； （２） 结合律 A + (B + C) = (A + B) + C ； （３） 有零矩阵０，对任意矩阵 A，有 A + 0 = 0 + A = A； （４） 任意矩阵 A，都有负矩阵− A，使得 A + (−A) = 0． 其中 ( ) − A = − aij ． 设k 是一个数， ( )m n A aij × = ，则数k 和矩阵 A 的数乘为 ( )m n kA kaij × = 设k,l是两个常数， A,B是同型矩阵，则 （１）1A = A，0A = 0；
2008春季班 线性代数第二章矩阵代数 (2)k(l4)=(k)A (3)k(A+B)=k4+kB; (4)(K+2)a= kA+lA 设A=(a)m,B=(b)r则 AB=c xI 其中 Cn=a1b,;+a,b,;+…+a, i 矩阵乘法有性质 (1)结合律(BC)=(AB)C; (2)分配律(A+B)C=AC+BC, C(A+ B)=CA+CB (3)k是常数,则 k(AB)=(kA)B=A(KB) ●设A,B是H阶方阵,则AB=AB 设矩阵A是n阶方阵,A可以自乘,k个A相乘 4叫A的k次幂 矩阵的幂有性质 (1)4A=A k+l 2)(4
2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2—3 （２）k(lA) = (kl)A； （３）k(A + B) = kA + kB； （４）(k + l)A = kA + lA． 设 ( )m l A aij × = ， ( )l n B bij × = ，则 ( )m n ij AB c × = ， 其中 ij ai b j ai b j ailblj c = 1 1 + 2 2 +"+ ． 矩阵乘法有性质： （１）结合律 A(BC) = (AB)C ； （２）分配律 （A + B)C = AC + BC ， C(A + B) = CA + CB． （３）k 是常数，则 k(AB) = (kA)B = A(kB)． z 设 A,B是n阶方阵，则 AB = A B ． 设矩阵 A是n阶方阵，A可以自乘，k 个 A相乘 k A 叫 A的k 次幂． 矩阵的幂有性质： （１） k l k l A A A + = ； （２）( ) kl l k A = A ．
2008春季班 线性代数第二章矩阵代数 设A是n阶方阵, f(r=anx"+anx"++ax+ao 是一个一元n次多项式 用A代多项式中的x,得到矩阵多项式 ∫(A)=anA4"+an1A″1+…+a1A+ao 矩阵多项式还是一个n阶方阵 设A xn 21 12 22 m2 n 称为矩阵A的转置矩阵,记作A7 转置有性质: (1)(A)=A (2)(A+B)=A+B7 (3)(kA)=k4 (4)(AB)=B7A;
2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2—4 设 A是n阶方阵， 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − " 是一个一元n次多项式． 用 A代多项式中的 x，得到矩阵多项式 f A a A a A a A a I n n n n 1 0 1 1 ( ) = + + + + − − " 矩阵多项式还是一个n阶方阵． 设 ( )m n A aij × = ，则 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n mn m m a a a a a a a a a " " " " " " " 1 2 12 22 2 11 21 1 称为矩阵 A的转置矩阵，记作 T A ． 转置有性质： （１） A A； T T ( ) = （２） T T T (A + B) = A + B ； （３） ； T T (kA) = kA （４） T T T （AB) = B A ；
2008春季班 线性代数第二章矩阵代数 例1设a=(1,0,-1),A=aar,m是 正整数,求E-A 例2(1)命题“A2=0,则A=0”是否正确, 若正确,证明之,若不正确,举例说明 (2)A是二阶矩阵,求满足A2=0的所有矩阵 (3)证明A2=0,且A=A,则A=0 例3设A=020,而n≥2是整数,求 101 An=- 例4设A=110|,求A 011 例5设以=(1,2,3,4) B=1, ,A=aB,则 23 4"=?
2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2—5 例 1 设 ( )T α = 1, 0, − 1 ， T A = αα ， 是 正整数，求 n n aE − A ． 例２（１）命题“ 0 2 A = ，则 A = 0”是否正确， 若正确，证明之，若不正确，举例说明． （２） A是二阶矩阵，求满足 0 2 A = 的所有矩阵． （３）证明 0 2 A = ，且 A A T = ，则 A = 0． 例 3 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ，而n ≥ 2是整数，求 1 2 − − n n A A ． 例 4 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 1 1 0 1 0 0 A ，求 n A ． 例5 设 ( )T α = 1, 2, 3, 4 ， T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 1 , 3 1 , 2 1 β 1, ， T A = αβ ，则 = n A ？
2008春季班 线性代数第二章矩阵代数 b 2 a, b3 例6设A 202 b3,求A 203 3 302 303 2.3逆矩阵 设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得 AB= BA=E 成立,则称A为可逆矩阵.B是A的逆矩阵 矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等 于0 设A是m阶方阵,若A≠0,则 其中,A'=(41)是A的伴随矩阵 设A= cd/若ad-be≠0,则 ad-bc 用矩阵的初等行变换.适合任何具体的数字矩阵 (A1)→…→(A2)
2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2—6 例 6 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a b a b a b a b a b a b a b a b a b A ，求 n A ． 2.3 逆矩阵 设 A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得 AB = BA = E 成立，则称 A为可逆矩阵．B是 A的逆矩阵． 矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等 于０． 设 A是n阶方阵，若 A ≠ 0，则 1 1 * A A A = − ， 其中， ( ) T A = Aij * 是 A的伴随矩阵． 设 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = c d a b A ，若ad − bc ≠ 0，则 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − c a d b ad bc A 1 1 ． 用矩阵的初等行变换．适合任何具体的数字矩阵． ( ) ( ) → → −1 A I " I A
2008春季班 线性代数第二章矩阵代数 利用分块矩阵的逆矩阵公式: A 0 0 B 及 0 A 0 B B 0 0 逆矩阵有性质: (1)(A4)=A (2)(k4)=1 A-,其中常数k≠0; k (3)(AB)=B1A-,其中A,B都是可逆矩 阵 (4) (4r)=(4-) 例7设矩阵A满足A2+A-4E=0,求 (A-E)1 例8设A,B,C是n阶方阵,满足ABC=E,求 (4C-)
2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2—7 利用分块矩阵的逆矩阵公式： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 1 1 1 0 0 0 0 B A B A 及 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0 0 0 0 1 1 1 A B B A 逆矩阵有性质： （１）(A ) = A − − 1 1 ； （２）( )−1 1 −1 = A k kA ，其中常数k ≠ 0； （３）( ) ，其中 −1 −1 −1 AB = B A A,B都是可逆矩 阵； （４）( ) ( ) T T A A 1 1 − − = ． 例７ 设矩阵 A满足 4 0 2 A + A− E = ，求 1 ( ) − A− E ． 例８ 设 A,B,C 是n阶方阵，满足 ABC = E ，求 ( ) 1 1 − − AC ．
2008春季班 线性代数第二章矩阵代数 12 例9设A=4t3,B为3阶非零矩 3-11 阵,且AB=0,求t 例10A 001 5200 2100 求A 2 例11已知A,B,A+B都可逆证明A+B 可逆,并求(A-1+B-1 例12已知矩阵A=2 01-32 0 0 B=(A+E)(A-E),求矩阵(E+B) 12-3-2 3 例13设矩阵B 00 210 2 00
2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2—8 例９ 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 3 1 1 4 3 1 2 2 A t ， B 为３阶非零矩 阵，且 AB = 0，求t ． 例 1０ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 5 2 A ，求 ? 1 = − A 例 1１ 已知 A,B, A+ B都可逆，证明 −1 −1 A + B 可逆，并求( ) 1 1 1 − − − A + B ． 例 1２ 已知矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 0 2 1 0 3 1 2 1 0 0 A ， ( ) ( ) 1 B = A+ E A− E − ，求矩阵 1 ( ) − E + B ． 例 1３ 设矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 3 1 2 3 2 B
008春季班 线性代数第二章矩阵代数 2 100 021 且 0 2 000 (2E-CB)A=C-,求矩阵A ●矩阵可逆的等价命题 n阶矩阵A可逆 兮A的行列式的值不为0 兮A满秩 兮A的列向量组线性无关 兮以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ar=0只 有零解 兮A可分解为一系列初等矩阵的乘积 兮对任意n维向量b,方程组Ax=b必有惟一解 兮A没有零特征值 例14设A是n阶方阵,且4≠0,若 A=A,证明A可逆 例15设A是实矩阵,AA=E,A<0,证明 A+E不可逆
2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2—9 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 C ，且 1 1 (2 ) − − E −C B A = C T ，求矩阵 A． z 矩阵可逆的等价命题 n阶矩阵 A可逆 ⇔ A的行列式的值不为０ ⇔ A满秩 ⇔ A的列向量组线性无关 ⇔以 A为系数矩阵的齐次线性方程组 Ax = 0只 有零解 ⇔ A可分解为一系列初等矩阵的乘积 ⇔对任意n维向量b，方程组 Ax = b必有惟一解 ⇔ A没有零特征值 例 1４ 设 A是n阶方阵，且 A ≠ 0, 若 T A = A * ，证明 A可逆． 例 1５ 设 A是实矩阵， A A = E, A < 0, T 证明 A+ E 不可逆．
2008春季班 线性代数第二章矩阵代数 2-10 2.4矩阵方程 含有未知矩阵的等式,如AX=B,就是矩阵 方程.矩阵方程的最基本形式是AX=B和 XA=B,其中X是未知矩阵 设A是n阶方阵,B是n×m矩阵,若A可逆, 则矩阵方程AX=B有解,其解为 X=AB 设A是n阶方阵,B是mXn矩阵,若A可逆, 则矩阵方程XA=B有解,其解为 X= BAN 101 例16设A=020,满足 AX+E=A2+X,求X 10 例17设A=-1-10, 100 B=020,且AX=BA,求X0
2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2—10 2.4 矩阵方程 含有未知矩阵的等式，如 AX = B，就是矩阵 方程．矩阵方程的最基本形式是 AX = B 和 XA = B，其中 X 是未知矩阵． 设 A是n阶方阵，B是n× m矩阵，若 A可逆， 则矩阵方程 AX = B有解，其解为 X A B−1 = ． 设 A是n阶方阵，B是m× n矩阵，若 A可逆， 则矩阵方程 XA = B有解，其解为 −1 X = BA ． 例 1６ 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ，满足 AX + E = A + X 2 ，求 X ． 例１７ 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − 0 0 2 1 1 0 1 0 0 A ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 1 0 2 0 1 0 0 B ，且 AX = BA，求 100 X ．
