数学模型 数学规划模型 I引言 一个复杂系统往往要受诸多因素的影响,而这 些因素又要受到一定的限制。最优化就是在一定约 束下,如何选取这些因素的值,使某项(或某些) 指标达到最优的一门学科。它包括数学规划、决策 分析、最优控制等等。 最优化方法在经济、军事、科技等领域内都有 广泛的应用
数 学 规 划 模 型 I 引言 一个复杂系统往往要受诸多因素的影响，而这 些因素又要受到一定的限制。最优化就是在一定约 束下，如何选取这些因素的值，使某项（或某些） 指标达到最优的一门学科。它包括数学规划、决策 分析、最优控制等等。 最优化方法在经济、军事、科技等领域内都有 广泛的应用
(数学模丝) 例1把一根直径为d的圆木锯成矩形横梁。已知 横梁强度z与宽度x成正比,与高度y的平 方成正比。求宽、高各为多少时强度最大? 该问题的数学模型为: z=hcy(k>0 x2+y2=d2,x>0,y>0 用微分法容易求出其解 数学规划模型格式: max z=hxy(k>0) s.t. x+ J x>0,y>0
例1 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形横梁。已知 横梁强度 z 与宽度 x 成正比，与高度 y 的平 方成正比。求宽、高各为多少时强度最大？ 该问题的数学模型为： ( 0) 2 z = kxy k 用微分法容易求出其解。 , 0, 0 2 2 2 x + y = d x y 数学规划模型格式： ( 0) 2 max z = kxy k 0, 0 , 2 2 2 + = x y s.t. x y d
对某材料的需求量为q,j=1,1(数学牌的 例2施工点j的坐标为(an,b)j=12, 第许料场的容量为M吨=1,2,…,m 求料场的位置及各料场向各施工点的供应量,使 材料运输的总吨公里最小。 解设各料场到各施工点的距离为直线距离,且各施工 点可在不同料场取料 设(x,y)为第i个料场坐标 w为料场i向施工点j提供的材料数量则 minz=∑∑n(x1-a)2+(n-b)2总吨公里数 st∑w≥q1,j=1,2, 需求限制 i=1 ∑w≤M1i=1,2,…,m 容量限制 M0=12,m=12,n非负限制
例2 施工点 j 的坐标为 (aj ,bj ), j = 1,2, ,n 对某材料的需求量为 qj , j = 1,2, ,n 第 i个料场的容量为 M ,i 1,2, ,m. i 吨 = 求料场的位置及各料场向各施工点的供应量，使 材料运输的总吨公里最小。 解 设各料场到各施工点的距离为直线距离，且各施工 点可在不同料场取料。 设 (xi , yi ) 为第 i 个料场坐标 wij 为料场 i 向施工点 j 提供的材料数量 则 = = = − + − m i n j ij i j i bj z w x a y 1 1 2 2 ( ) ( ) = = m i wij qj j n 1 , 1,2,, = = n j wij Mi i m 1 , 1,2,, wij 0,i = 1,2, ,m; j = 1,2, ,n 总吨公里数 需求限制 容量限制 非负限制 min s.t
(数学模丝) 第二个问题不便用微分法求解,可用数学规 划方法求解。 学习这一部分需注意的地方: 对给定的实际问题,如何作合理的假设,并建立 模型。如何处理分段函数、矛盾约束等问题 2.怎样将一类模型化为另一类模型,易于求解。 3.同一问题可建立不同模型
学习这一部分需注意的地方： 1. 对给定的实际问题，如何作合理的假设，并建立 模型。如何处理分段函数、矛盾约束等问题。 2. 怎样将一类模型化为另一类模型，易于求解。 3. 同一问题可建立不同模型 第二个问题不便用微分法求解，可用数学规 划方法求解
(数学模型 II数学规划模型的建立 数学规划模型的一般形式 minz=f(X)(或maxz=∫(X) X∈S(cR") X=(x1,x2, 若能写出描述S的数学式子,则可直接写出。 例如:maxz=kxy2(k>0) s.t. x x>0,y>0 这里S={(x,y)|x2+y2=d2,x,y>0} X=(,y)
II 数学规划模型的建立 数学规划模型的一般形式： min z = f (X) ( ) n X S R T X x x xn ( , , , ) = 1 2 (或 max z = f (X)） 例如： ( 0) 2 max z = kxy k 0, 0 , 2 2 2 + = x y s.t. x y d {( , )| , , 0} 2 2 2 S = x y x + y = d x y T X = (x, y) 若能写出描述S的数学式子，则可直接写出。 这里
(数学模型 几个概念: 目标函数 min z=f(X)(E max z=f(X)) 可行解—X∈S(cR") 可行域 19299n 决策变量 描述S的数学式子 约束条件 S、≠Φ 问题可彳 =①问题不可行 Xz 最优解 最优目标值
( ) n X S R T X x x xn ( , , , ) = 1 2 min z = f (X) (或 max z = f (X)） 目标函数 可行域 可行解 决策变量 描述S 的数学式子 约束条件 S = 问题可行 问题不可行 X 最优解 z 最优目标值 几个概念：
数学模型) 特别:minz=cx1+c2x2+…+cnxn(或max) s.t. aux+au2x2ttainx b1(或 ≤,≥ a21x1+a2x2+…+a2nxn=b2(或≤,≥b2 am1x1+am2x2+…+amxn=bmn(或≤,≥b) ≥0,j=1,2,…,n 线性规划模型 或 mIn Z s.∑ax1=(≤≥),i=12,…m ≥0,j=1,2, 或 min Z= CX s,t. AX=b 等约束 X2O
特别： n xn z = c x + c x ++ c min 1 1 2 2 (或 max) 或 = = n j j xj z c 1 min s t a x bi i m n j ij j . . ( , ) , 1,2, , 1 = = = 11 1 12 2 1 1 s.t. a x + a x ++ a n xn = b a21 x1 + a22 x2 ++ a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 ++ amn xn = bm （或 ， b1） （或 ， b2） （或， bm） xj 0, j = 1,2, ,n xj 0, j = 1,2, ,n 线性规划模型 或 min z = CX s.t. AX = b X O 等约束
(数学模丝) 注: minz=CX+MM是常数 s.t. AX=b X≥O 与 minz=CX有相同的最优解 s.t. AX=b X≥O 2 min Z= CX st. AX=b X≥0 与 max CX有相同的最优解 s.t. AX=b X>O
注： min z = CX + M s.t. AX = b X O M是常数 与 min z = CX s.t. AX = b X O 有相同的最优解 1. 2. min z = CX s.t. AX = b X O max z0 = −CX s.t. AX = b X O 与 有相同的最优解
(数学模型 另外: 1.x取整数,称模型为整数规划模型 2.中部分取整数,称模型为混合整数规划模型 3.x只取0或1两个值,称为0—1规划模型 4.目标函数或约束条件是非线性的, 称为非线性规划模型 5.若目标函数只有一个,称为单目标规划模型 若目标函数不只一个,称为多目标规划模型
另外： 1. xj 取整数，称模型为整数规划模型 j x 2. 中部分取整数，称模型为混合整数规划模型 j x 3. 只取0或1两个值，称为 0 — 1 规划模型 4. 目标函数或约束条件是非线性的， 称为非线性规划模型 5. 若目标函数只有一个，称为单目标规划模型； 若目标函数不只一个，称为多目标规划模型
(数学模型 、运输问题 例1运价销地 B. B B 产量 产地 2 12 n 21 22 2n 2 mI m2 n n 需求量b1b2 求使总运费最少的调运方案。试建模 42
B1 B2 Bn Am A A 2 1 ma a a 2 1 b1 b2 bn m m mn n n c c c c c c c c c 1 2 21 22 2 11 12 1 产地 运 销地 例1 价 求使总运费最少的调运方案。试建模。 产量 需求量 42 一、运输问题
