(数学模型 微分方程
微 分 方 程
数学模型 §2、人口模型 设t时刻人口数为x(t),经过△t时间后,人数变为 x(t)+△x,则从t时刻到t+△t时刻的平均增长速度为 △x , △t 相对增长率为x(t) △x x'() t时刻的相对增长率:r(t.x(t)x(t) △→ 2
2 §2 、人口模型 t时刻的相对增长率： ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x t x t t x t x r t t = = → 设t 时 刻人 口数为 x(t)，经过t 时间后，人数变为 x(t) + x，则从t时刻到t + t时刻的平均增长速度为 t x ， 相对增长率为 ( ) x x t t
(数学模型 Malthus模型 基本假设:人口的相对增长率为常数r x= rr r=B-D x(0) B: Birth rate D: Death rate 人口函数:x=xne Malthus模型特点:在有限的时间内,在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的;但是,由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害,以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况
3 基本假设: 人口的相对增长率为常数 r. 0 (0) x rx x x = = r B D = − B：Birth rate D：Death rate 人口函数： 0 r t x x e = Malthus模型 Malthus模型特点: 在有限的时间内, 在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的; 但是, 由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害, 以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况
(数学模型 Logistic阻滞增长模型 基本假设:人口的相对增长率随着人口数量的增加而 减少,当人数超过某饱和值N后,相对增长率为负 x=rx(1
Logistic阻滞增长模型 基本假设: 人口的相对增长率随着人口数量的增加而 减少, 当人数超过某饱和值 N 后, 相对增长率为负. (1 ) x x rx N = −
数学模型 §3、捕鱼模型 记时刻渔场中的鱼量为x(t),并假设: i)在无捕捞条件下x(t)的增长服从 Logistic规律, x(t)=f(x)=m(1七 其中r为固有增长率,N为环境允许的最大鱼量 i)单位时间的捕捞量h(x)与渔场鱼量成正比,比例系 数为E(捕捞强度),即,h(x)=Ex x()=f(x)-h(x)=rx(1-)-Ex=F(x)
5 (i) 在无捕捞条件下x(t)的增长服从 Logistic 规律， 记t时刻渔场中的鱼量为x(t)，并假设： §3 、捕鱼模型 (ii)单位时间的捕捞量h(x)与渔场鱼量成正比, 比例系 数为E(捕捞强度), 即, h x Ex ( ) = 其中r为固有增长率，N 为环境允许的最大鱼量。 ( ) ( ) (1 ) N x x t = f x = rx − x t f x h x ( ) ( ) ( ) (1 ) x rx Ex N = − = − − = F x( )
(数学模型 产量模型 x(t)=f(x)-h(x)=mx(1--)-Ex
产量模型 x t f x h x ( ) ( ) ( ) (1 ) x rx Ex N = − = − −
(数学模型 效益模型 鱼量方程同产量模型 x(t)=F(x)=f(x)-h(x)=(1-:)-Ex 假设:鱼的销售单价 (price)为常数p,单位捕捞 强度(如每条出海渔船)的费用(cost)为常数c T:单位时间的收入 S:单位时间的支出 R:单位时间的利润
7 假 设: 鱼的销售单价(price)为常数 p, 单位捕捞 强度(如每条出海渔船)的费用(cost)为常数c. T：单位时间的收入 S：单位时间的支出 R：单位时间的利润 Ex N x x(t) = F(x) = f (x) − h(x) = rx(1 − ) − 鱼量方程同产量模型： 效益模型
数学模型 §4、生态数学模型 以两种群为例: A、弱肉强食;B、相互依存;C、相互竞争 Loka- Volterra模型: a山中 =x(a10+a1x+a12y)≡∫(x,y) y(a20 +a2rx+a2y)=g(x,y) 其中x()种群甲在t时刻的总数(x(t)≥0) y(t)—种群乙在t时刻的总数(y(t)≥0)
8 其中x(t)——种群甲在t时刻的总数( x(t) 0); y(t)——种群乙在t时刻的总数( y(t) 0). = + + = + + ( ) ( , ) ( ) ( , ) 2 0 2 1 2 2 1 0 1 1 1 2 y a a x a y g x y dt dy x a a x a y f x y dt dx 以两种群为例： A、弱肉强食；B、相互依存；C、相互竞争 Lotka-Volterra 模型： §4 、生态数学模型
数学模型 捕食者 Predator)-食饵(Prey)系统 假设食饵甲没有密度限制,独立存在时显指数增 长,即(t)=ax,捕食者使食饵减少;捕食者乙没有 食饵甲的存在就会死亡。 t=ax-bxy j=-cy+dxy (a2b,c,d>0)
捕食者(Predator)－食饵(Prey)系统 假设食饵甲没有密度限制，独立存在时显指数增 长，即x t ax ( ) = ，捕食者使食饵减少；捕食者乙没有 食饵甲的存在就会死亡。 ( , , , 0) x ax bxy a b c d y cy dxy = − = − + (1)
(数学模型 模型的延伸应用:杀虫济的影响 x=x(a-by) x=r(a- k,x-by) j=y(C +dx li=y(c+dx-k,y
10 模型的延伸应用: 杀虫济的影响 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x a by x x a by k x y y c dx y y dx c k y = − = − = − + = − + − −