江画工太猩院 第5节 导数的简单应用
江西理工大学理学院 第 5 节 导数的简单应用
江西理工大学理学院 、曲线的切线、法线问题 对于两条相交的曲线L、L2,它们在交点 处的夹角定义为这条曲线在交点处的切线之间 的夹角(如下图)若记为θ,则有 tane=K2-K1 L + k2 L2 其中k、k2分别为L、L在 交点处的切线的斜率。 0
江西理工大学理学院 一、曲线的切线、法线问题 1 2 2 1 1 tan k k k k + − θ = 对于两条相交的曲线 、 ，它们在交点 处的夹角定义为这条曲线在交点处的切线之间 的夹角（如下图）若记为 ，则有 L 2 θ L 1 L 1 L 2 2 k 1 其中 、 分别为 、 在 k 交点处的切线的斜率。 O x y L1 L2
观西理工大院 例1求曲线习+p=e在点(0,1)处的切线方 程与法线方程 解方程两端对x求导得 y+习y+e"·y'=0 于是有 Vlo, 1=- 故切线方程为 -1=--x 法线方程为y-1=ex
江西理工大学理学院 例1 求曲线 在点 处的切线方 程与法线方程。 xy e e y + = (0 ,1) 方程两端对 求导得 x y + xy'+e ⋅ y′ = 0 y e y 1 | ′ (0 , 1) = − x e y 1 − 1 = − y − 1 = ex 于是有 法线方程为 故切线方程为 解
1+t 江画工太猩院 例2求参数方程 31 :- 2t22t 表示的曲线在仁1处的切线方程与法线方程。 解当t=1时,对应曲线上的点为(2,2) 3t+ dy y(t) 2t2 2 dr x'(t) (1+t)3r22t+3 6 3t+ 2t+3 10 故切线方程为:p-2=10(x-2) 法线方程为:y-2=-(x-2)
江西理工大学理学院 例2 求参数方程 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = . 2 1 2 3 , 1 2 3 t t y t t x 表示的曲线在 t=1处的切线方程与法线方程。 当 时，对应曲线上的点为 t = 1 , 2 3 2 3 ( 1 ) 3 2 3 1 ( ) ( ) 2 6 3 2 3 2 + + = − + − − = ′ ′ = t t t t t t t t t x t y t dx dy 10 7 | 2 3 2 3 | 1 2 1 = + + t = = t = t t t dx dy ( 2 ) 10 7 y − 2 = x − ( 2 ) 7 10 y − 2 = − x − 故切线方程为： 法线方程为： 解 ( 2 , 2 )
江画工太猩院 例3求两曲线y=x与y=一交点处的夹角 x y=r 解联立 可知交点为(1,1) y 在交点处它们的切线斜率分别为 k1=(x2)1-1=2,k2=(yl=1=-1 k,-k, 若取∈1,,则由tan 1+k,k. 可得O= arctan3≈7160
江西理工大学理学院 例3 求两曲线 与 交点处的夹角。 2 y = x x y 1 = 联立 可知交点为 。 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = x y y x 1 2 ( 1 , 1 ) ) | 1 1 ( ) | 2 , ( 1 2 1 2 1 = ′ x = = = ′ x = = − x k x k 在交点处它们的切线斜率分别为： ] 2 [0, π θ ∈ 3 1 tan 1 2 2 1 = + − = k k k k 若取 ，则由 ， θ 0 可得 θ = arctan 3 ≈ 71.6 解
西理工大兽 例4求对数螺线r=已°在=处的切线的直角坐标方程 x=e cos 解对数螺线的参数方程为 y=e sin e e sin 0 +e cos0 e coso-e sin 8 切线的斜率:k==2 e 又当θ=时,x=0,y=e2 切线方程为:y-2=-(x-0)即x+y-2=0
江西理工大学理学院 例4 求对数螺线 在 处的切线的直角坐标方 程 2 π θ θ r = e = 解 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ θ θ sin cos : y e x e 对数螺线的参数方程为 1 2 2 2 = − − ∴ = = = π π π θ e e dx dy 切线的斜率为： k θ θ θ θ θ θ θ θ cos sin sin cos e e e e x y dx dy t t − + = ′ ′ = 2 0 , 2 π π 又当 θ = 时， x = y = e ( 0 ) 2 ∴ y − e = − x − π 切线方程为： 0 2 + − = π 即 x y e
江画工太猩院 、极坐标系中极径与切线的夹角 在极坐标系中方程r=r(6)表示一条曲线。 d r 因为坐标系的改变,这时r(6) 已不再 de 代表曲线的切线斜率 根据直角坐标与极坐标的关系,可得曲线 r=r(⊙)在直角坐标系中的参数方程为: x=re)cos y=r(e)sin 0 其中参量日为极角
江西理工大学理学院 二、极坐标系中极径与切线的夹角 在极坐标系中方程 表示一条曲线。 因为坐标系的改变，这时 r = r (θ ) θ θ d dr r′( ) = 代表曲线的切线斜率。 已不再 根据直角坐标与极坐标的关系，可得曲线 r = r (θ ) 在直角坐标系中的参数方程为： ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ θ θ ( )sin ( )cos y r x r 其中参量 为极角。 θ
辱理院 设曲线在点M(r)的切线与极轴的父角为a 则曲线的切线斜率为: tand= dy y(e) r(esine+r(0)coso r()tan8+r(8) dx x(o) r(0)cos8-re)sing r(6)-rgtane 又由右图知a=6+q 其中@为极径与切线的夹角,于是 tan+ tan tana= tan(efy/ g tan p (2) M 结合(1)、(2)两式可得: () △a tan d r(0
江西理工大学理学院 设曲线在点 的切线与极轴的交角为 ， 则曲线的切线斜率为: M ( r,θ ) α θ α ϕ O x y M 又由右图知 α = θ + ϕ ( ) ( ) tan θ θ ϕ r r ′ = θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ α ( ) ( )tan ( )tan ( ) ( )cos ( )sin ( )sin ( )cos ( ) ( ) tan r r r r r r r r x y dx dy ′ − ′ + = ′ − ′ + = ′ ′ = = （ 1 ） θ ϕ θ ϕ α θ ϕ 1 tan tan tan tan tan tan( ) − + = + = （ 2 ） 结合（ 1）、（ 2）两式可得： 其中 为极径与切线的夹角，于是 ϕ
江画工太猩院 例5证明对数螺线r=(k>0为常数的极径与 切线的夹角为一常量 证∵r()=ke r(6)e k8 ∴tang=M (8)keo k 因此= arctan,=常数
江西理工大学理学院 例5 切线的夹角为一常量。 证明对数螺线 r = e kθ (k > 0为常数)的极径与 证 x y o M α θ T ϕ θ θ k Q r′( ) = ke ke k e r r k k 1 ( ) ( ) tan = = ′ ∴ = θ θ θθ ϕ 因此 = = 常数 k1 ϕ arctan
江画工太猩院 三、相关变化率 设x=x()及y=y()都是可导函数,而变量x与 y之间存在某种关系,从而它们的变化率与 d t 之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的 变化率称为相关变化率 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
江西理工大学理学院 三、相关变化率 . , , ( ) ( ) , 变化率称为相关变化率 之间也存在一定关系 这样两个相互依赖的 之间存在某种关系 从而它们的变化率 与 设 及 都是可导函数 而变量 与 dt dy dt dx y x = x t y = y t x 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
