江画工太猩院 第三节 任意项级数审敛法
江西理工大学理学院 第三节 任意项级数审敛法
交错级数及其审剑④企太香鹰 定义:正、负项相问的级数称为交错级数. 0o ∑(-1)"u或∑(-1)"n(其中un>0) n-=1 莱布尼茨定理如果交错级数满足条件 (i)u>u(n=1, 2, 3, (ii)limu =0 n→00 则级数收敛,且其和S≤L,其余项r的绝对值 n=“n+1
江西理工大学理学院 一、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. n n n n n n ∑ u ∑ u ∞ = ∞ = − − − 1 1 1 ( 1 ) 或 ( 1 ) 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ) ( 1 , 2 , 3 , ) u n ≥ u n + 1 n = L ;(ⅱ)lim = 0 → ∞ n n u , 则级数收敛,且其和 u 1 s ≤ ,其余项 nr 的绝对值 n ≤ u n + 1 r . ( > 0 ) 其中 u n
江画工太猩院 证明∵lun1-Un2≥0, ∵S2n=(1-n2)+(l3-u4)+…+(2n1-2n) 数列s2是单调增加的 又S2n=1-(l2-a3)-…-(l2n2-ln1)-ln ≤1数列s2,是有界的, lims,n=ssu. limu2n1 =0, 11→0
江西理工大学理学院 证明 n u u u u n u n u n s2 1 2 3 2 2 2 1 2 又 = − ( − ) −L− ( − − − ) − ( ) ( ) ( ) 2n u1 u2 u3 u4 u2n 1 u2n Qs = − + − +L+ − − ≤ u1 0, Qun−1 − un ≥ lim . 2 u1 s s n n ∴ = ≤ →∞ lim 0, 2 +1 = →∞ n n Q u , 数列 s2n是单调增加的 , 数列 s2n是有界的
江画工太猩院 ims 2n+1 lim(S2n +u2n+d=s 1-→0 级数收敛于和s,且s≤u1 余项rn=士(un1-ln2+…), u+ 11+ 2 满足收敛的两个条件,∴n≤Lm 定理证毕
江西理工大学理学院 lim lim( ) 2 1 2 2 +1 →∞ + →∞ ∴ = n + n n n n s s u = s, , . u1 ∴级数收敛于和 s 且s ≤ ( ), 余项 rn = ± un+1 − un+2 +L , rn = un+1 − un+2 +L 满足收敛的两个条件, . ∴ n ≤ un+1 r 定理证毕
江画工太猩院 例1判别级数∑(-11,的收敛性 n=1 解记nn 因为n n+1 故 nl、n+1 ≥L 212 n+1 n+1 又因为lim li x→+00 2xx→+∞02xIn2 li →00 +00 :li 故原级数收敛
江西理工大学理学院 例 1 判别级数∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n 的收敛性. 解 n nn u 2 记 = 2+ 1 ≥ n 因为 n , 2 1 2 +1 ≥ +1 + n = n ≥ n un n n 故 u x x x 2 lim →+∞ 又因为 = 0, 故原级数收敛 . 2 ln 2 1 lim x x→+∞ = 0 2 ∴ lim = lim = →∞ →∞ n n n n n u
江画工太猩院 例2判别级数∑()的收敛性 1=2 vr (1 TX 解 2x(r-D)2Ln1, 又 limu=lim 0.原级数收敛 1→0 n→∞n-1
江西理工大学理学院 例 2 判别级数∑ ∞ = − − 2 1 ( 1) n n n n的收敛性. 解 2 2 ( 1) (1 ) ) 1 ( − − + ′ = − x x x x x Q un+1 1 lim lim − = →∞ →∞ n n u n n n 又 = 0. 原级数收敛
江画工太猩院 、绝对收敛与条件收敛 定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 定理若∑n收敛则∑u收敛 hE n=1 证明令vn=3(n+un)(m=12, 显然v≥0,且vn≤mn,∴∑v收敛, -=1 又∵∑=∑(2n-mn,:∑n收敛 =1m=1
江西理工大学理学院 二、绝对收敛与条件收敛 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定理 若 ∑ ∞ n = 1 u n 收敛,则 ∑ ∞ n = 1 u n 收敛. 证明 ( ) ( 1 , 2 , ), 2 1 令 v n = u n + u n n = L ≥ 0 , n 显然 v , n u n 且 v ≤ , 1 ∑ 收敛 ∞ = ∴ n n v ( 2 ), 1 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = − n n n n 又 Q u n v u ∑ ∞ = ∴ n 1 u n收敛
江画工太猩院 上定理的作用 任意项级数 正项级数 定义:若∑un收敛,则称∑1,为绝对收敛; n-=1 n-=1 若Σun发散而ΣLn收敛,则称∑un,为条件收敛 n=1
江西理工大学理学院 上定理的作用： 任意项级数 正项级数 定义:若 ∑ ∞ n=1 un 收敛, 则称∑ ∞ n=1 un为绝对收敛; 若 ∑ ∞ n=1 un 发散,而 ∑ ∞ n=1 un收敛, 则称 ∑ ∞ n=1 un为条件收敛
江画工太猩院 例3判别级数∑一的收敛性 n=1 n 解 2S2,而∑收敛 -=1 ∑m收敛 n=I n 故由定理知原级数绝对收敛
江西理工大学理学院 例 3 判别级数 ∑ ∞ =1 2 sin n n n的收敛性. 解 , sin 1 2 2 n n n Q ≤ , 1 1 而 ∑ 2 收敛 ∞n= n , sin 1 ∑ 2 ∞ = ∴ n n n 收敛 故由定理知原级数绝对收敛
江画工太猩院 性质1任意交换绝对收敛级数的各项次序所 得的新级数仍绝对收敛,且其和不变 性质2若级数∑u和∑绝对收敛其和分别 n-=1 为A和B,则它们逐项相乘后,依任意方式排列所 成的新级数仍绝对收敛,且其和为AB 注:对于条件收敛的级数则不具有上述两个性质
江西理工大学理学院 性质1 得的新级数仍绝对收敛，且其和不变 . 任意交换绝对收敛级数的各项次序所 性质2 . , , 1 1 AB A B u v n n n n 成的新级数仍绝对收敛，且其和为 为 和 ，则它们逐项相乘后 依任意方式排列所 若级数∑ 和∑ 绝对收敛 其和分别 ∞ = ∞ = 注：对于条件收敛的级数则不具有上述两个性质