江画工太猩院 第五节 隐画数的求导法则 偏导数的几何应用()
江西理工大学理学院 偏导数的几何应用 ( 一 ) 隐函数的求导法则 第五节
江西理工大学理学院 、一个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(xy)的 某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x,y)=0, F(,y)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x,y)的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数y=f(x),它满足条件y=f(x),并 有 dy dx FF y 隐函数的求导公式
江西理工大学理学院 1. F(x, y) = 0 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数F(x, y)在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0 , y0 ) = 0， ( , ) 0 Fy x0 y0 ≠ ，则方程F(x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f (x)，它满足条件 ( ) 0 x0 y = f ，并 有 y x F F dx dy = − . 隐函数的求导公式
江画工太猩院 例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1 的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶和二阶导 数在x=0的值. 解令F(x,y)=x2+y2-1 则F2=2x,F,=2y F(0,1)=0,F(0,)=2≠0, 依定理知方程x2+p2-1=0在点(,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的 函数y=f(x)
江西理工大学理学院 例１ 验证方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时 y = 1 的隐函数 y = f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值. 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2x, x = F 2 y, y = F(0,1) = 0, (0,1) = 2 ≠ 0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时 y = 1的 函数 y = f (x)．
江画工太猩院 函数的一阶和二阶导数为 小yF d x F x y dy y-xy d x2 35 d =0
江西理工大学理学院 函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy = − , y x = − 0 , 0 = dx x = dy 2 2 2 y y xy dx d y − ′ = − 2 y y x y x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − , 1 3 y = − 1 . 0 2 2 = − x = dx d y
江画工太猩院 y 例2已知nx2+y2= arctan,求 解令F(x,y)=lmx2+y2- arctan 则F(x,y)= x+y F(x, y y=x 21y 25 x + y x 中,Fxx+y dx Fy-x
江西理工大学理学院 例 2 已知 x y ln x y arctan 2 2 + = ，求dxdy . 解 令 则 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y = x + y − ( , ) , 2 2 x y x y F x y x ++ = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y +− = y x F F dx dy = − . y x x y − + = −
江画工太猩院 2.F(x,y,z)=0 隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x1,yn,) 的某一邻域内有连续的偏导数,且F(x1,yn,)=0, F(x0,y,x)≠0,则方程F(x,x)=0在点 P(x1,0,a)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连 续且具有连续偏导数的函数乙=f(x,y),它满足条件 m=f(x0,), 并有 az F Oz F ax Fr ay F
江西理工大学理学院 隐函数存在定理 2 设函数F(x, y,z)在点 ( , 0 P x , ) 0 0 y z 的某一邻域内有连续的偏导数，且 ( , 0 F x , ) 0 y0 z0 = ， ( , , ) 0 Fz x0 y0 z0 ≠ ，则方程F(x, y,z) = 0在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连 续且具有连续偏导数的函数z = f (x, y)，它满足条件 ( , ) 0 0 0 z = f x y ， 并有 z x F F x z = − ∂ ∂ ， z y F F y z = − ∂ ∂ . 2. F(x, y,z) = 0
江画工太猩院 例3设x2+y2+2-4=0,求 ax 解令F(x,y,z)=x2+y2+x2-4x, 则F2=2x,F2=2z x Ox F 2- 0 (2-x)+x(2-)+x 2-2 ax (2-x) (2-z)2+x (2-z)
江西理工大学理学院 例 3 设 4 0 2 2 2 x + y + z − z = ，求 2 2 x z ∂ ∂ . 解 令 则 ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z = x + y + z − z F 2x, x = F = 2z − 4, z , 2 z x FF xz zx − = − = ∂∂ 2 2 x z ∂ ∂ 2 (2 ) (2 ) z x z z x − ∂ ∂ − + = 2 (2 ) 2 (2 ) z z x z x − − − + ⋅ = . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x − − + =
江画工太猩院 例4设z=/f(x+y+,79axy ax dy dz 思路:把看成x,y的函数对x求偏导数得。, 把x看成,y的函数对y求偏导数得 把y看成x,x的函数对求偏导数得 oy 解令Ⅱ=x+y+,V=z, 则z=f(u
江西理工大学理学院 例 4 设z = f (x + y + z, xyz)，求 x z ∂ ∂ ， y x ∂ ∂ ， z y ∂ ∂ . 思路：把z看成x, y的函数对x求偏导数得 x z ∂ ∂ ， 把x看成z, y的函数对 y求偏导数得 y x ∂ ∂ ， 把 y看成x,z的函数对z求偏导数得 z y ∂ ∂ . 解 令 u = x + y + z, v = xyz, 则 z = f (u,v)
江画工太猩院 把看成x,y的函数对x求偏导数得 f(1+。)+f·(+xy 整理得 azf后+yf -则y, 把x看成,y的函数对y求偏导数得 f(。+1)+f(xz+z Oy
江西理工大学理学院 把z看成x, y的函数对x求偏导数得 x z ∂ ∂ (1 ) x z fu ∂∂ = ⋅ + ( ), xz f yz xy v ∂∂ + ⋅ + 整理得 x z ∂ ∂ , 1 u v u v f xyf f yzf − − + = 把x看成z, y的函数对y求偏导数得 0 ( + 1) ∂∂ = ⋅ yx fu ( ), yx f xz yz v ∂∂ + ⋅ +
江画工太猩院 整理得 ax fu,+ xxf ay fu t yaf 把y看成x,的函数对z求偏导数得 1=f·(+1)+f,(邓+x), 整理得 Oy 1-f -xyf Oz +xaf
江西理工大学理学院 整理得 , u v u v f yzf f xzf + + = − y x ∂ ∂ 把 y看成x,z的函数对z求偏导数得 1 ( + 1) ∂∂ = ⋅ zy fu ( ), zy f xy xz v ∂∂ + ⋅ + 整理得 z y ∂ ∂ . 1 u v u v f xzf f xyf + − − =