江画工太猩院 第4节 曲面、空间曲线及其方程
江西理工大学理学院 第 4 节 曲面、空间曲线及其方程
江西理工大学理学院 、曲面方程的概念 曲面的实例:水桶的表面、台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义: 如果曲面S与三元方程F(x,y,)=0有下述关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 那么,方程F(x,y,)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形
江西理工大学理学院 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面 S与三元方程 F ( x , y , z ) = 0有下述关系： （1）曲面 S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F ( x , y , z ) = 0就叫做曲面 S的方程， 而曲面 S就叫做方程的图形． 曲面的实例： 一、曲面方程的概念
江画工太猩院 以下给出几例常见的曲面. 例1建立球心在点M0(x1,n)、半径为R 的球面方程 解设M(x,y,x)是球面上任一点, 根据题意有|MM=R 2 x-x0)+(y +(z 0 R 所求方程为(x-x0)+(y-y)2+(z-x)=R2 特殊地:球心在原点时方程为x2+y2+z2=R2
江西理工大学理学院 以下给出几例常见的曲面 . 例 1 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为 R 的球面方程. 解 设 M ( x , y , z )是球面上任一点， 根据题意有 | MM 0 |= R ( ) x − x + ( y − y )( ) + z − z = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x 0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R
江画工太猩院 例2求与原点O及M234的距离之比为1:2的 点的全体所组成的曲面方程 解设M(x,y,x)是曲面上任一点, M0|1 根据题意有 MM 2 0 xrt+z √(x-2)+(-3)+(-4) 4)116 所求方程为x+2+(y+1)+z+,|=
江西理工大学理学院 例 2 求与原点O及 (2,3,4) M0 的距离之比为1: 2的 点的全体所组成的曲面方程. 解 设M(x, y,z)是曲面上任一点， , 2 1 | | | | 0 = MM MO 根据题意有 ( )( )( ) , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z ( ) . 9116 34 1 32 2 2 2 ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ ⎟ + + + + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ 所求方程为 x + y z
江画工太猩院 例3已知4(1,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的 垂直平分面的方程 解设M(x,y,x是所求平面上任一点, 根据题意有|MAMB, x-1)+(-2)+(z-3)2 x-2)+(y+1)+(z-4), 化简得所求方程2x-6y+2z-7=0
江西理工大学理学院 例 3 已知A(1,2,3)，B(2,−1,4)，求线段AB的 垂直平分面的方程. 设M ( x, y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA |=| MB |, ( ) ( )( ) 2 2 2 x − 1 + y − 2 + z − 3 ( 2) ( 1) ( 4) , 2 2 2 = x − + y + + z − 化简得所求方程 2x − 6 y + 2z − 7 = 0. 解
江画工太猩院 例4方程z=(x-12+(y-2)2-1的图形是怎样的? 解根据题意有z≥-1 用平面z=c去截图形得圆: (x-1)2+(y-2)2=1+c(c≥-1) 当平面z=C上下移动时, 得到一系列圆 0 圆心在(12,c),半径为1+cx 半径随c的增大而增大.图形上不封顶,下封底
江西理工大学理学院 z x o y 例4 方程 的图形是怎样的？ ( 1) ( 2) 1 2 2 z = x − + y − − 根据题意有 z ≥ −1 用平面z = c去截图形得圆： ( 1) ( 2) 1 ( 1) 2 2 x − + y − = + c c ≥ − 当平面z = c上下移动时， 得到一系列圆 圆心在(1,2,c)，半径为 1+ c 半径随c的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 解 c
江画工太猩院 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题: (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程 (讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状 (讨论柱面、二次曲面
江西理工大学理学院 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
江画工太猩院 二、旋转曲面 定义以一条平面 曲线绕其平面上的 条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 这条定直线叫旋转 曲面的轴 播放
江西理工大学理学院 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 播放播放
江画工太猩院 旋转过程中的特征: 如图设M(x,y,z) k→≥M10,y,) f(y,)=0 (1)z=1 (2)点M到z轴的距离 d=x2+y2=n1 将z=z,片=±x2+y2代入 f(y1,41)=0
江西理工大学理学院 x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z ⋅ 设 M(x, y,z), M⋅ 1 (1) z = z （2）点M 到z轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = ± x + y f ( y1 ,z1 ) = 0 d
江画工太猩院 将z=,n1=土x2+y2代入f(,1)=0 得方程/x2+y,z)=0 yz坐标面上的已知曲线∫(y,z)=0绕z轴旋 转一周的旋转曲面方程. 同理:y0z坐标面上的已知曲线∫(y,)=0 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ±√x2+x2)=0
江西理工大学理学院 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = ± x + y f ( y 1 , z 1 ) = 0 ( , ) 0 , 2 2 f ± x + y z = yoz坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 z轴旋 转一周的旋转曲面方程. 得方程 同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程 为 ( , ) 0 . 2 2 f y ± x + z =
