江画工太猩院 第7节 不定积分与定积分 的分部积分法
江西理工大学理学院 第 7 节 不定积分与定积分 的分部积分法
江画工太猩院 求导运算与积分运算是互逆的运算,积 分的方法常可通过求导法则导出,导数的基 本公式导出积分的基本公式微分形式不变 性导出积分形式不变性引出第一换元法, 下边是乘积的求导法则导出分部积分法
江西理工大学理学院 求导运算与积分运算是互逆的运算 , 积 分的方法常可通过求导法则导出 ,导数的基 本公式导出积分的基本公式 ,微分形式不变 性导出积分形式不变性 ,引出第一换元法 , 下边是乘积的求导法则导出分部积分 法
江画工太猩院 不定积分的分部积分法 问题∫xck=? 解决思路利用两个函数乘积的求导法则. 设函数=u(x)和v=v(x)具有连续导数, )=mv+l,w'=(a)-v, ∫m=am-hr,ja uav=uy-vau 分部积分公式
江西理工大学理学院 问题 ∫ xe dx = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u( x)和v = v( x)具有连续导数, ( ) uv = u′v + uv′, ′ uv ( ) uv − u′v, ′ ′ = uv dx uv u vdx, ∫ ∫ ′ = − ′ udv uv vdu. ∫ ∫ = − 分部积分公式 一、不定积分的分部积分法
江画工太猩院 例1求积分 xcos xd 解(一)令l=x,cost= d sinx=d jxcosx=xd sin x =xsin x- sin xdx =sinx tcosxtc 解(二)令∥=c0sx,xbk=bh2=by xcos xdx= cosx+-sin xdx 显然,L,v选择不当,积分更难进行
江西理工大学理学院 例1 求积分 cos . ∫ x xdx 解（一） 解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv ∫ xcos xdx ∫ = xd sin x ∫ = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x + C. 令u = cos x, xdx = dx = dv 2 21 ∫ xcos xdx ∫ = + xdx x x x sin 2 cos 22 2 显然，u,v′选择不当，积分更难进行
江画工太猩院 例2求积分」xet 解l=x2,l2dx=de2=lh, x2e dx=x2e*dx (再次使用分部积分法)l=x,e^bkc=h x'e'-2 (re'-e'dx) =x2e2-2(xe2-e)+C. 总结若被积函数是幂函数和正(余弦函数 或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
江西理工大学理学院 例2 求积分 . 2 ∫ x e dx x 解 , 2 u = x e dx de dv, x x = = ∫ x e dx 2 x ∫ = x e − xe dx x x 2 2 2( ) 2 x e xe e dx x x x ∫ = − − （再次使用分部积分法）u = x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − +
江画工太猩院 例3求积分 rarctan x 解令u= arctan,xd=d=b rarctan xd -x arctan- d(arctan arctan 21+x arctan 1-,1 21+x x arctanx-(x-arctan x )+c
江西理工大学理学院 例3 求积分 arctan . ∫ x xdx 解 令 u = arctan x , dv x xdx = d = 2 2 ∫ xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x ∫ = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = − ⋅ ∫ dx x x x ) 1 1 ( 1 2 1 arctan 2 2 2 + = − ⋅ − ∫ ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +
江画工太猩院 例4求积分|x3m x 解u=lnx,x3l=d=h, x'In xdx==xinx-xodx =-xlnx--xtc 416 总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积,就考虑设对数函 数或反三角函数为l
江西理工大学理学院 例4 求积分 ln . 3 ∫ x xdx 解 u = ln x, , 4 4 3 dv x x dx = d = ∫ x ln xdx 3 ∫ = x x − x dx 4 3 41 ln 41 . 16 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为u
江画工太猩院 例5求积分∫a arccos rar 解 设u= arccos x,hy=tx,则dn dx.y=x 1-x arccos xdx=xarccosx =arccos- 0、2 = arccos式 21+C =x arccosx-(1-x )+C
江西理工大学理学院 ∫ arccos xdx 解 设 u = arccos x ,dv = dx , dx v x x du = − = − , 1 1 则 2 ∫ ∫ − = + dx x x xdx x x 2 1 arccos arccos ( 1 ) ( 1 ) 1 2 1 arccos 2 2 2 ∫ 1 − − = − d x x x x C x x x + − = − ⋅ 2 1 ( 1 ) 2 1 arccos 2 1 2 = x x − − x + C 2 1 arccos ( 1 ) 2 例5 求积分
江画工太猩院 例6求积分sm(mx xsin(nx)-r cos(Inx) dx x[sin(In x)-cos(In.x)-sin(In x dx j sin(In.x)dx=Isin(In x)-cos(Inx)+C
江西理工大学理学院 例6 求积分 sin(ln ) . ∫ x dx 解 ∫sin(ln x)dx ∫ = xsin(ln x) − xd[sin(ln x)] ∫ = − ⋅ dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln ) ∫ = xsin(ln x) − xcos(ln x) + xd[cos(ln x)] ∫ = x[sin(ln x) − cos(ln x)]− sin(ln x)dx ∴∫sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x = − +
江画工太猩院 例7求积分 e sin xdx 解 e sin xdx sin xde e sinx-」ed(sinx) =e'sinx-e x cos car=e sinx-cos e+ e sinr -e cosr-e a cosr = e"(sin x-cos x)_Je ' sin.xd I注意循形式 ∫ e sin xix=,(smx-0+C
江西理工大学理学院 例7 求积分 sin . ∫ e xdx x 解 ∫ e xdx x sin ∫ = x sin xde ∫ = e sin x − e d(sin x) x x ∫ = e x − e xdx x x sin cos ∫ = − x x e sin x cos xde ∫ = e sin x − (e cos x − e d cos x) x x x ∫ = e x − x − e xdx x x (sin cos ) sin ∴∫ e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 注意循环形式