江画工太猩院 第2节 微积分的基本公式 与基本定理
江西理工大学理学院 第 2 节 微积分的基本公式 与基本定理
江西理工大学理学院 、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度vv是时 间间隔,T上t的一个连续函数,且 v(t)≥0,求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为tdt 1 另一方面这段路程可表示为s(T2)-s( T2 v(t)dts(2)-s()其中s(t)=v
江西理工大学理学院 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 ∫ 2 1 ( ) T T v t dt 设某物体作直线运动，已知速度 v = v ( t )是时 间间隔 [ , ] T1 T2 上 t的一个连续函数，且 v ( t ) ≥ 0，求物体在这段时间内所经过的路程 . 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s 一、问题的提出 ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T ∴ = − ∫ 其中 s′( t ) = v ( t)
江画工太猩院 二、微积分基本公式 定义1已知(x是一个定义在某一区间内的函数, 如果存在函数F(x),使得在该区间内的任何一点, 有 F(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx 那么函数F(x)就称为f(x)在该区间内的原函数
江西理工大学理学院 二、微积分基本公式 定义 1 ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 那么函数 就称为 在该区间内的原函数 或 有： 如果存在函数 ，使得在该区间内的任 何一点， 已知 是一个定义在某一区间 内的函数， F x f x dF x f x dx F x f x F x f x = ′ =
江画工太猩院 定理1(微积分基本公式) 如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b上 的一个原函数,则!f(x)x=F(b)-F(a) 证在区间a,b内插入n-1个分点: a=xn<x1<…<xn<xn=b 那么a,b被分割为n个小区间[x21,x;(=1,2,…,n) 设4x;=x;-x1,根据 Lagrange中值定理,有 F(x1)-F(x1)=F'()4x;5∈(x1,x)
江西理工大学理学院 定理 1（微积分基本公式） 如果 F ( x )是连续函数 f ( x )在区间 [ a , b ] 上 的一个原函数，则 f ( x )dx F ( b ) F ( a ) b a = − ∫ . 证 在区间 [ a , b ]内插入 n − 1个分点： a = x 0 < x 1 < L < x n − 1 < x n = b [ , ] [ , ]( 1 , 2 , , ) 那么 a b 被分割为 n个小区间 x i − 1 x i i = L n 设 ∆x i = x i − x i − 1 ,根据Lagrange中值定理，有 F x i F x i F ξ i ∆x i ( ) ( ) ( ) 1 − = ′ − ( , ) ξ i ∈ x i − 1 x i
江画工太猩院 所以F)-F(a)=∑F(x)-F(x1 i=1 =∑F"(9)·A ∑/(5),4 由于f(x)在a,b上连续,故可积, 在上式中令=max{|i=12,…,n→0即得 F(6)-F(a)=Lf(x kdc 牛顿莱布尼茨公式
江西理工大学理学院 所以 ∑ = − = − − n i i i F b F a F x F x 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] i n i = ∑F′ ξ i ⋅ ∆x =1 ( ) ∑ = = ⋅ n i i xi f 1 (ξ ) ∆ 在上式中令λ = max{∆xi | i = 1,2,L,n} → 0,即得 由于 f ( x)在[a,b]上连续，故可积 . F(b) F(a) f (x)dx. b a∫ − = —— 牛顿—莱布尼茨公式
江画工太猩院 CA(xkde= F(b)-F(a)=[F(x)o 微积分基本公式表明: 个连续函数在区间ab上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间a,b]上的增量 求定积分间题转化为求原函数的问题 注意当a>b时,f(x=F(b)-F(a仍成立
江西理工大学理学院 f (x)dx F(b) F(a) ba = − ∫ 微积分基本公式表明： [ ]ba = F(x) 一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量. 注意 当a > b时， f (x)dx F(b) F(a) ba = − ∫ 仍成立. 求定积分问题转化为求原函数的问题
江画工太猩院 例1求(2 cosx+sinx-1) 解原式=[im-x-x1=3- 2 2x0≤x<1 例2设f(x) 51<x? f(x)dr 2 解「f(x)k=f(x)d+,f(x)d 在1,2上规定当x=1时,f(x)=5, 原式=[2xdx+「5=6 12
江西理工大学理学院 例1 求 (2cos sin 1) . 2 ∫0π x + x − dx 原式 [ ]20 2sin cos π = x − x − x . 2 3 π = − 例2 设 , 求 . ⎩⎨⎧ < ≤ ≤ ≤ = 5 1 2 2 0 1 ( ) x x x f x ∫ 20 f (x)dx 解 解 ∫ ∫ ∫ = + 10 21 20 f (x)dx f (x)dx f (x)dx 在[1,2]上规定当x = 1时， f ( x) = 5, ∫ ∫ = + 10 21 原式 2xdx 5dx = 6. x y o 1 2
江画工太猩院 例3求,max{x,x3x 解由图形可知 f(x)=maxx, x") 2 2≤x≤02p12x x0≤xs1, x21<x≤2 原式=xx+xt+xh、11
江西理工大学理学院 例3 求 max{ , } . 22 2 ∫− x x dx 解 由图形可知 ( ) max{ , }2 f x = x x , 1 2 0 1 2 0 2 2 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ = x x x x x x ∫ ∫ ∫ ∴ = + + − 21 2 10 02 2 原式 x dx xdx x dx . 211 = x y o 2 y = x y = x − 2 1 2
江画工太猩院 例4求 解当x<0时,的一个原函数是n|x ax=ln x=In1-In2=-In 2 例5计算曲线y=sinx在0,m上与x轴所围 成的平面图形的面积 解面积A= sindi =-cosxJo =
江西理工大学理学院 例4 求 解 . 1 1 2 dx x ∫ − − 当 x < 0时， x 1 的一个原函数是ln | x |, dx x ∫ − − 1 2 1 [ ] 1 2 ln | | − = − x = ln 1 − ln 2 = −ln 2 . 例 5 计算曲线 y = sin x 在 [ 0 , π ]上与 x轴所围 成的平面图形的面积 . 解 面积 x y o π ∫ π = 0 A sin xdx [ ] π = − 0 cos x = 2
江画工太猩院 、积分上限函数及其导数 设函数∫(x)在区间[a,b上连续,并且设x为 ,b上的一点,考察定积分 f(x dx=f(t)dt 如果上限x在区间[a,b上任意变动,则对 于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所 以它在,b上定义了一个函数, 记o(x)=f(O).积分上限函数
江西理工大学理学院 设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，并且设x为 [a,b]上的一点， ∫ xa f (x)dx 考察定积分 ∫ = xa f (t)dt 记 ( ) ( ) . ∫ Φ = xa x f t dt 积分上限函数 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对 于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所 以它在[a,b]上定义了一个函数， 三、积分上限函数及其导数