高等学校教学参考书 微积分学教程 第三卷第三分册 r.M菲赫金哥尔茨著 余家译 人真志 博士家园论坛刘伟
博士家园论坛 刘伟
第一分册目录 第十五章曲积分斯底尔吉斯积分 第一型曲积分 517.第一型曲积分的定义(1)518.化为普通定积分(3)519.例(5) §2第二型曲积分 520.力中功的题(10)521.第二型曲积分的定义(12)522第二型曲能积分 的存在与算(15)523路的情形·平面的定向(18)52例(20)525.用取花 折上的积分的逼近法(25)526.用曲积分算面积(26)527.例(30)528.两 不同型曲线积分时的联系(33)52物理問題(35) 3.曲积分与道路无关的条件 530.与微分相关题的提出(39)53.与道路无关积分的微分法(40)532用原 函数来叶算曲积分(43)533.确切微分的判别与矩形区的情况下原函数的求 法(44)534.推广到任意区域的情形(46)535.最修果(49)536.沿路的积分 (50)537.非单速区域或有奇点的情形(51)538.高斯积分(56)539.空间的情形 (58)540例(61)541.物理問题的应用(65) §4.有界变差函数 542.有界变差函数的定义(68)543有界变函数类(70)54有界变差函数的情 质(73)545,有界变差函数的判定法(77)546.的有界变差函数(79)547 求长曲枝(82 5.斯底尔吉斯积分 548.斯底尔古斯积分的定义(86)549斯底尔吉斯积分存在的一般条件(87550. 斯底尔吉斯积分存在情况的若类(88)551.斯尔吉斯积分的性质(91)552.分 部积分法(94)553.化斯底尔吉斯积分为黎曼积分(95)554斯底尔吉斯积分的 算(97)555.例(102)556.斯底尔吉斯积分的几何解說(108)557中定理,估 值(109)558.斯底尔斯积分号下面的极限过程(111)559.例题及补充(113) 560+化第二型曲秘积分为斯底尔吉斯积分(118) 第十六章二重积分 1.二重积分的定义及簡单性质 561.柱形长条体积的問题(120)562.化二重积分为逐次积分(121)563.重积分 的定义(123)564.二重积分存在的条件(15)565.可积函数类(126)566、下积 分及上积分作为极限(129)57,可积函数与二重积分的性质(130)668积分当作 区域的可加函数,对区城的微分法(133) (iii) 博士家园论坛刘伟
博士家园论坛 刘伟
徽和分学歌 务2.二重积分的訃算 569,在矩形区域的情况下化二重积分为灾积分(136}570.例(140}571在曲边 区域的情况下化二重积分为還大积分(150)572.例(153)573,力学应用(67) 574.例(169) §3.格林公式 575,袼林公式的推演〔177)576.应用格林公式到曲錢积分的萨究(181)577.例題 及补充(182) §4.二重积分中的变数更换 578,平面区城的变换(185)579.例(188)580,曲耗坐标中面积的表示法(193 581.补充說明(196)582.儿何推演(198)583.(200)584.二重积分中的变数更 换(209)585.与单积分的相似处,在定向区城上的积分(211)586.例(213 §5.广义二重积分 587.展布在无界区域上的积分(220)588.广义二重积分栖对收斂性定理(223) 589.化二重积分为逐次积分(225)590无界商数的积分(228)591.广义积分中的 变数更换(230)592.例(232) 博士家园论坛刘伟
博士家园论坛 刘伟
第二分册目录 第十七章曲面面积·曲面积分 1.双側曲面 593.曲面的侧(249)594.例(251)595.曲面和空间的定向(252596.法方向 余弦公式中符号的选擇(254)597.分片光滑曲面的情形(256 2.曲面面积 98.許瓦耳的例子(257)599.曲面面积的定义(259600.附注(260)601.地 面面积的存在及共算(262)602.用内接多面形的接近法(267)603.面积定义的 特殊情况(269604.例(270) §3.第一型曲面积分 605.第一型面面积分的定义(285)606.化为寻常的二重积分(286)607第一型曲 面积分在力学上的应用(288)608.例(290) §4.第二型曲面积分 609.第二型曲面积分的定义(297)610.最简单的特殊情形(299611.一股情形 (302)612.证明的节(304)613.曲面积分表立体体积(305)614.斯托克斯 公式(310)615.例(312)616.斯托克斯公式在研究空间曲积分上的应用(318) 第十八章三重积分及多重积分 §t.三重积分及其計算 617立体质量算的尚量(321)618.三重积分及其存在的条件(322)619.可积函 数与三重积分的性质(323)620.展布在平行面体上的三重积分的算(325)621 在任何区坡上的三重积分的计算(327)622.广义三重积分(329)523.例(329) 624.力学应用(337)625.例(338) §2.高斯-奥斯特洛格拉斯基公式 626.高斯-奥斯特洛格拉斯基公式(346)627高斯-奥斯特洛格拉斯基公式应用于 曲面积分的研究(349)628.高斯积分(350629.例(352) §3.三重积分中的变数更换 630.空间的变换及曲坐标(355)631.例(356)632曲面坐标下的体积表示法 (358)633.补充明(361).634.几何推演(362)635例(363)636.三重积分中 的变数更换(371)637.例(373)638.立体的吸引力及在内点上的位势(378 i 博士家园论坛刘伟
博士家园论坛 刘伟
微积分学教程 8±.場論初步 639.钝量及向量(380)640,钝量場及向量場(381)641.梯度(381)642.向量通 过曲面的流量(383)643,高斯-奥斯特洛格拉斯基公式·发散量(384)64,应用 (386)645.向量的循环量·斯托克斯公式·旋度(389)646.应用(391) §5.多重积分 647.两立体的引力及位势問題(394)648.界離立体体积7盦积分(396) 649,7重积分中的变数更换(398)650.例(402) 博士家园论坛刘伟
博士家园论坛 刘伟
第三分册录 第十九章傅立叶級数 1.导言 651周期量与和分析(425)652+欧勒-傅立叶定系数法(428)653.正交函数 系(431)6三角插法(435) 2数的傅数展开式 655.問题的提出·第巢沿积分(439)66.第一基本預备定莲(44)657.同化 定(444)658,尼与李西淡的叶微数收修的判别法(5659第二 本备定理(448)660.第希一别法(450)66上.非周域函数的情(452) 662.任意区的情形(454)663.只含余弦或正炫的展开式(455)664.例(459) 665.logi(x)的展开式(473) §3.补允 666.系数减的数(475)667三角数借助于复变数解析雨数的求和法(482) 668.例(485)69.立叶数的复数形式490)670.比极数(493)671,多重 傅立叶数(496) 4.傅立叶级数的收特性 672.对于基本預备定理的几点补充(499)673.傅立叶极数一致收性的判别法 (502)674傅立叶级数在不点附近的性质;特形(505675.花数的 情形(510)676.傅立叶颖数的奇异性质·先的时(512)77奇性质的作法 516) §5.与函数可微分性相关的余部估值 678.函数与共导数的立系数之关系(518)679.在有界函数情形时部分和的 估(519)680.数育级有界导数时余部的(521)68上数有有界变 的k导数的情形(523)682.函数及其导数的不速性对f傅立系数的尤穷小 阶的影响(526)683在区[0,π上给出函数时的情形(530)68.分离奇异性质 法(532) 5.傅立叶积分 685.博立叶积分作为立叶级数的极限情形540)686.预光的說明(542)687. 分别法(544688.基本假设的变形(546)689佛公式的各种形式(50 69得变(551)691.傅立变换的若性质(554)692.例与补充(550 693.二元函数的情形(562) (iii) 博士家园论坛刘伟
博士家园论坛 刘伟
微积分学程 §7应用 694.用行星的平近点角所作出的它的偏近点角的表示式(564)695.函数的函数 方程(566)696.弦振动的(567)697.有限长杆上的热导盟题(571)698. 无长杆的情形(574)60极条件的变形(576)700.在盘上的热傳导(578) 701实用码和分析·二个纵坐标的方法(580)702.例(582)703.二十四个纵坐 标的方法(585)70,例(587)705.立叶系数的近似值与满的比较(588) 第二十学傅立叶級数() .傅立叶级数的运算完全性与性 706.博立叶极数的逐项积分法(591)707.傅立叶数的逐项微分法(594)708 角函数系的完合性(595)709.函数的致近似法·稚尔史特拉斯定理(597)710. 函数的平均近似法·傅立叶极数的部分和的极端性质(600)711.三角函数系的 合性·李猴普諾定理(604)712.广义閉合性方程(607)713立叶数的乘法 (610714合性方程的若应用(611) 2发散极数的求和法 715导言(617)716.幂数法(619)717.陶俏尔定理(621718.算术均法 (624)719.普安松-亚培尔法与齐查罗法的相互关系(626)720,哈第点满定理 (628)721.广义求和法在蔽数乘法上的应用(630722.股的性求和法类 (632 3.求和法在傅立数上的应用 723.基本备定理(635)724.傅立叶级数的普安松-正培尔求和法(637)725.关 于圆的第里希乘题的解(641)72分博立数的齐查-叶尔求和法(643) 727.立极数广义求和法的若干应用(645)728.博立叶数的逐项微分法(647) §函数的三角展开式的唯一性 729.关于广义导数的助命题(549)730三极数的黎曼求和法(653)731.关于 收极数的系数的预备定(657732.角展开式的唯一性(658)733关傅立 级数的最后的定理(660)731.推广663) 中名对照表 博士家园论坛刘伟
博士家园论坛 刘伟
第十五章曲幾积分·斯底尔吉斯积分 81第一型曲能积分 517第一型曲餞积分的定义为了很自然地得出这一新的概念 我們来考察一个能导出它的力学 問題。 設巳耠一連额的可求长型 面曲秘(K)(图1),在它上面 分布有质量,且在曲上所有的 点M处其性密度P(M为已 知,要求确定整个曲糙(K)的质 量 m。 图 为达此目的,在曲簇端点A与B任意地插入一列点A1,A,… An-1(为使記号对称,命A与A相合,An与B相合)。为了明确起見 我們认为这些点是自A到B記数的[畚看817*],但是,将它們以相反 的方向記数也可以。 在曲的弧A4A;+1上任取一点M,算出这一点处的密度P(M4)。 近似地认为在这一小段弧上所有点处的密度都是这样的,并以a;表弧 AA,+1的长,对这一弧的质量mx我們将有近似表示式 今后为单計,我們只計豁平面曲糢,整个所逃的东西不必改变就可移到塞曲栈的 情形。 中*参看关于本书第一卷及第二卷时,均以原书的中薛本为溢一峄者 1) 博士家园论坛刘伟
博士家园论坛 刘伟
2 积分學程 mi=P(Ious 而对整个所求的质量,将有近似式子 ∑P(M;)σ 这一式子的誤差与上面所作的近假定是有关的;如所有小段的 长σ;趋近于睿时,这誤差也将趋近于。因此,如以A表长a;中最大 的一个,只要变到极限就得到准确的公式: lim∑p(M)a 現在开始一般地来研究这一类型的极限。丢开上面的問題不談, 取一任意“点函数”f(M)=f(x,y),它是在一速的可求长平面曲耩 (K)上轮出的“,并重复上逃于额:分曲幾(E)为許多弧元A4A1+,在它 們上面任取点M4(,n),計算出在这些点处的值fM;)一f(5,y) 并作和 ∑f(M;)o;=∑f(,m) 它亦代表一定类型的“积分和”。 当入=maxσ;趋近于嚼时,如这一积分和有一确定的有阻极限L, 既与曲箍(K)細分的方法无关,又与小段A;A4+上点M的选播无 关,則这一极限称作函数∫(M)=f(x,y)沿曲縫或道路(K)上所取的 (第一型**)曲幾积分,并以記号 I=f(M)ds=f(ac,y)da (1) 五 来表示(共中是曲幾的弧长,d就象征长度元a)。极限过程的精确 說明留給讀者。 因此,上面所得曲籍质量的式子可重写为 *这里假定某一直角坐标系取作基础。 誉以示与下面L521所酎論的第二型曲犧积分不同。 博士家园论坛刘伟
博士家园论坛 刘伟
第于王章曲积分·斯底尔吉斯积分 m=p(M)ds (2) 特別注意,耠道路(K)所加的方向在所介貂的定义中不起任何作 用。例如若这一曲幾不是閉的,且以(AB)及(BA)作为不同方向的曲 镘,則 ∫f(M=j(Mn)as ▲B) (BA) 类似地,我們可以引导散布在空惆曲(K)上的积分概念 f(M)d8=f(,弘、z) 由于沒有什么新的原則性东西,沒有必要在这里詳談。 518剎化为普懣定积分假定在曲能(K)上任意取定一方向(两 个可能方向之一),曲秘上点M的位置可由从一点A量起的弧长8=AM 来确定。那末曲耧(K)可为参数方程的形状: z=a(a),y=y(8)(0≤8≤S), 而在曲秘上耠出的菌数f(x,y)便化成变量8的复合函数f(x(8),y(8) 对应于在AB弧上所选取的分点A,其弧的值如表为 =0,1,…,n),則显然a;=84+1-8=△8以8;表定点M的8值(而 且显然,6≤3≤8+),可以看到曲彩积分的积分和 ∑f(M4)o4=∑f(x(2),(3)8 同时也是普通定积分的积分和,所以立刻有: f(M)d8=(R)f(a(a),y(a))ds 且这两积分中只要有一个存在,另一个就也存在。 当然,这种直接由第一型曲窥积分化为普通的积分会降低了它 某一直角坐标东将哀作茲础。函数∫仅在曲模(K)的点处有定义 符号(E)裳示,积分达且是了解为道常是定义下的积分 博士家园论坛刘伟
博士家园论坛 刘伟
