概率论与数理统计 广东工业大学 主讲教师:邱红兵 广东工业大
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55随机变量的函数的分布 离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 §5 随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布
、离散型随机变量函数的分布 设随机变量X的分布律为 PX=x}=Pi=1,2, 或xx1 求随机变量Y=g(X)的分布律。 方(1)求出随机变量所有可能的取值; 法(2)求出随机变量Y取每一个值的概率 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 一、离散型随机变量函数的分布 设随机变量X的分布律为 P X = xi = pi { } i = 1,2, n n P p p p X x x x 1 2 1 2 求随机变量 Y = g(X) 的分布律。 或 （1） 求出随机变量Y所有可能的取值； （2） 求出随机变量Y取每一个值的概率。 方 法
二连续型随机变量函数的分布 设连续型随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数F(x) r=8(X) 求随机变量的密度函数f(y)(或分布函数F(y)。 1、公式法 设连续型随机变量λ的密度函数∫(x),-00(或恒有g'(x)<0),则 Y=g(X) 是连续型随机变量,其概率密度为 frey) ∫f()(y)ba<y<B 其它 其中a=min(g(-∞),g(+∞),B=max(g(-∞),g(+0) 广东工业大 h(y)是g(x)的反函数
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 二、连续型随机变量函数的分布 Y = g(X) 设连续型随机变量X的密度函数 f (x) （或分布函数 F(x) ）， 求随机变量Y的密度函数 fY ( y) （或分布函数 FY ( y) ）。 1、公式法 Y = g(X) 函数 g(x) 处处可导且恒有 g'(x) 0 （或恒有 g'(x) 0 ），则 是连续型随机变量，其概率密度为 设连续型随机变量X的密度函数 f (x),− x +, 又设 0, 其它 [ ( )]| '( )|, ( ) f h y h y y f y Y 其中 = min(g(−), g(+)), = max(g(−), g(+)), h( y)是 g(x) 的反函数
二连续型随机变量函数的分布 设连续型随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数F(x) r=8(X) 求随机变量的密度函数f(y)(或分布函数F(y)。 分布函数法 积分上限函数的导数 g(r) d f(tdt Jh(x) fig(x)lg(x)-fth(rw(x) dx g(r) f(t)dt d x fig(x)g(x)
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 2、分布函数法 二、连续型随机变量函数的分布 Y = g(X) 设连续型随机变量X的密度函数 f (x) （或分布函数 F(x) ）， 求随机变量Y的密度函数 fY ( y) （或分布函数 FY ( y) ）。 积分上限函数的导数: dx d f t dt g x h x ( ) ( ) ( ) = f[g(x)]g'(x) − f[h(x)]h'(x) dx d f t dt g x a ( ) ( ) = f[g(x)]g'(x)
二连续型随机变量函数的分布 设连续型随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数F(x) r=8(X) 求随机变量的密度函数f(y)(或分布函数F(y)。 2 分布函数法 先求Y的分布函数,再求密度函数。 由分布函数的定义,Y的分布函数为 F()=Ps丹=Pg(X)y=∫f(x) 于是,Y的密度函数为 g(x)≤y d∫f(x)d ∫y(y) dRyly) s 8(x)sy 广东工业大 dh
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 2、分布函数法 先求Y的分布函数，再求密度函数。 由分布函数的定义，Y的分布函数为 F ( y) P{Y y} Y = = P{g(X) y} = g x y f x dx ( ) ( ) 于是，Y的密度函数为 f ( y) Y dy dF y Y ( ) = dy d f x dx g x y = ( ) ( ) 二、连续型随机变量函数的分布 Y = g(X) 设连续型随机变量X的密度函数 f (x) （或分布函数 F(x) ）， 求随机变量Y的密度函数 fY ( y) （或分布函数 FY ( y) ）
例1设随机变量X的密度函数为 x/8,0<x<4 fx(r) 其它 求随机变量Y=2X+8的概率密度
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例1 设随机变量X的密度函数为 = 0, 其它 / 8, 0 4 ( ) x x f X x 求随机变量 Y = 2X + 8 的概率密度
例2(06)设随机变量X的概率密度为 1/2 1<x<0 fx(x)={1/4 0≤x<2 0 其它 令Y=X2,(D求Y的概率密度函数f(y)
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例2(06) 设随机变量X的概率密度为 − = 0 其它 1/ 4 0 2 1/ 2 1 0 ( ) x x f X x , 2 令Y = X (I) 求Y的概率密度函数 f ( y). Y
例3设连续型随机变量X有严格单调增加的分布函数F(x)试 求Y=P(X的分布函数和密度函数
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例3 设连续型随机变量X有严格单调增加的分布函数F(x),试 求Y=F(X)的分布函数和密度函数
第二章小结 §1随机变量 §2离散型随机变量及其分布律 §3随机变量的分布函数 §4连续型随机变量及其概率密度 §5随机变量的函数的分布 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 第二章小结 §1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布律 §3 随机变量的分布函数 §4 连续型随机变量及其概率密度 §5 随机变量的函数的分布