第三章多维随机变量及其分布 §1二维随机变量 §2边缘分布 53条件分布 54相互独立的随机变量 §5两个随机变量的函数的分布 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 §2 边缘分布 §3 条件分布 §4 相互独立的随机变量 §5 两个随机变量的函数的分布
51三维随机变量 一、二维随机变量的概念 二、二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量及其分布 四、二维连续型随机变量及其分布 五、n维随机变量及其分布 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 §1 二维随机变量 一、二维随机变量的概念 二、二维随机变量的分布函数 三、二维离散型随机变量及其分布 四、二维连续型随机变量及其分布 五、n维随机变量及其分布
二维随机变量的概念 在实际问题中,一些随机试验的结果往往同时需要两个或 两个以上的随机变量来描述要硏究这些随机变量之间的关系, 就应同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律 即多维随机变量的分布 1、多维随机变量举例: (1)对一目标进行射击: X:表示弹着点与目标的水平距离; Y:表示弹着点与目标的垂直距离 则(X,Y)就是一个二维随机变量。 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 在实际问题中,一些随机试验的结果往往同时需要两个或 两个以上的随机变量来描述.要研究这些随机变量之间的关系, 就应同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律 即多维随机变量的分布. 一、二维随机变量的概念 1、多维随机变量举例: （1）对一目标进行射击： X：表示弹着点与目标的水平距离； Y：表示弹着点与目标的垂直距离； 则（X，Y）就是一个二维随机变量
(2)考察某地区学龄前童的身体发育情况: X:表示该地区学龄前儿童的身高; Y:表示该地区学龄前儿童的体重; 则(X,Y)就是一个二维随机变量。 (3)考察某地区的气候状况: X:表示该地区的温度;Y:表示该地区的湿度; 则(X,Y)就是一个二维随机变量。 (4)考察某钢厂钢材的质量: X:表示该钢厂钢材的硬度; Y:表示该钢厂钢材的含碳量 z:表示该钢厂钢材的含硫量; 广东工业大 则(X,Y,Z)就是一个三维随机变量。〓〓
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 （2）考察某地区学龄前童的身体发育情况： X：表示该地区学龄前儿童的身高； Y：表示该地区学龄前儿童的体重； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。 （3）考察某地区的气候状况： X：表示该地区的温度； Y：表示该地区的湿度； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。 （4）考察某钢厂钢材的质量： X：表示该钢厂钢材的硬度； Y：表示该钢厂钢材的含碳量； 则（X，Y，Z）就是一个三维随机变量。 Z：表示该钢厂钢材的含硫量；
2、二维随机变量的定义 设E是一个随机试验,其样本空间为S={e},设 X=X(e y=r(e) 是定义在S上的两个随机变量,则由它们构成的一个向量(X,F) 称为二维随机向量或二维随机变量。 对于多维随机变量如二维(XY),其性质不仅与X及Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此,逐 个地来研究X或Y的性质是不够的,还需将(X,Y)作为一个整 体来进行研究。 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 2、二维随机变量的定义 设E是一个随机试验，其样本空间为 S = {e} ，设 X = X(e) Y = Y(e) 是定义在S上的两个随机变量，则由它们构成的一个向量 (X,Y ) 称为二维随机向量或二维随机变量。 对于多维随机变量[如二维( X,Y )]，其性质不仅与X 及Y 有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，逐 个地来研究X 或Y 的性质是不够的，还需将( X,Y )作为一个整 体来进行研究
二、二维随机变量的分布函数 1、联合分布函数的定义 设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y,二元函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数(或称联合分布函数) 2、几何意义 联合分布函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 的值就是随机点(X,￥)落在 区城D内的概率 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 二、二维随机变量的分布函数 1、联合分布函数的定义 F(x, y) = P(X x,Y y) 称为二维随机变量 ) 的分布函数(或称联合分布函数). (X,Y 设 (X,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数 (x, y) 联合分布函数 F(x, y) = P(X x,Y y) 的值就是随机点 (X,Y ) 落在 x y O D 2、几何意义 区域D内的概率
3、联合分布函数F(x,y)=P(Xsx,Y≤y)的性质 性质1对任意的x,y,有0≤F(x,y)≤1;且有 F(+∞,+∞)=1 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0 y+(x1,y) 如图:对x1<x2,显然有 dx2,y F(x1,y)≤F(x2,y) 于是我们得到 性质2F(x,y是变量x和y的单调非降函数 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 性质1 对任意的 x, y, 有 0 F(x, y) 1; 性质2 且有 F(+,+) = 1 F(x,− ) = F(− , y) = F(− ,− ) = 0 F(x, y) 是变量 x 和 y 的单调非降函数; 3、联合分布函数 F(x, y) = P(X x,Y y) 的性质 如图： ( , ) 1 x y x y O ( , ) 2 x y ( , ) ( , ) 1 2 F x y F x y , 对 x1 x2 显然有 于是我们得到
考虑随机变量(X,Y)落在矩形区域D的概率,其中 D=k(X,x<Xsx2,v,<rsy2 容易得到 (x1,y2)(x2,2) P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)y F(x2,y2)-F(x1,y2) F(x21)+F(x1,y1)1 29 性质3对任意的x<x2,y感,) O (x1<X≤x2,y1<Ysy2) =F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1) 且F(x2,y2)-F(x,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 ( , ) 1 2 x y x y O ( , ) 2 2 x y ( , ) 1 1 x y ( , ) 2 1 x y 1 x 2 x 1 y 2 y 考虑随机变量 (X,Y ) 落在矩形区域D的概率，其中 {( , )| , } 1 2 1 2 D = X Y x X x y Y y D ( , ) 1 2 1 2 P x X x y Y y ( , ) 2 2 = F x y ( , ) 1 2 − F x y ( , ) 2 1 − F x y ( , ) 1 1 + F x y 容易得到 性质3 1 2 1 2 对任意的 x x , y y 总有 ( , ) 1 2 1 2 P x X x y Y y 且 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 F x2 y2 − F x1 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 1 2 2 1 1 1 = F x y − F x y − F x y + F x y
性质1对任意的x,y,有0≤F(x,y)≤1;且有 F(+∞,+∞)=1 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-0,-∞)=0 性质2F(x,y是变量x和y的单调非降函数; 性质3对任意的x1<x2,y1<y2总有 P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2) =F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1) 且F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0 性质4F(x,y)对任意的x(或y)都是右连续的 即对任意的x,y,均有 F(x+0,y)=F(x,y)F(x,y+0)=F(x,y)
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 F(x + 0, y) = F(x, y) F(x, y + 0) = F(x, y) 性质4 F(x, y) 对任意的 x ( 或 y )都是右连续的, 即对任意的 x, y, 均有 性质1 对任意的 x, y, 有 0 F(x, y) 1; 且有 F(+,+) = 1 F(x,− ) = F(− , y) = F(− ,− ) = 0 性质2 F(x, y) 是变量 x 和 y 的单调非降函数; 性质3 1 2 1 2 对任意的 x x , y y 总有 ( , ) 1 2 1 2 P x X x y Y y 且 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 F x2 y2 − F x1 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 1 2 2 1 1 1 = F x y − F x y − F x y + F x y
例1已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(, y)=A(B+arctan x)(C+arctan y) 0+o A(B+)(C+)=1 2 F(o0,y)=lim A(B+arctan x(C+arctan) A ( B-(C+arctan)=0 同理F(x,-∞0)=A(B+ arctan)C-x)=0……(3) 由(1),(2),(3)解得A=_2,B
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例1 已知二维随机变量 (X,Y ) 的联合分布函数为 F(x, y) = A(B + arctan x)(C + arctan y) 试确定常数A,B,C的值。并求概率 (− x +,− y +) P(0 X 1,0 Y 1). 解: 由分布函数的性质得 lim A(B arctan x)(C arctan y) y x + + →+ →+ F(+,+) = ) 2 )( 2 ( = A B + C + = 1 lim A(B arctan x)(C arctan y) x + + →− F(−, y) = )( arctan ) 2 = A(B − C + y = 0 同理 F(x,−) 由(1),(2),(3)解得 , 1 2 A = , 2 B = . 2 C = (1) (2) ) (3) 2 ( arctan )( = A B + x C − = 0