M College Mathematics Guidance Series 大学数学学习辅导丛书 浙江大学盛骤谢式千潘承毅编 概率论与数理统计 习题全解指南 浙大·二、三版 14 高等教育出版社
前言 本书是编者所编的《概率论与数理统计》(第三版)(高等教育 出版社2001年出版)和《概率论与数理统计》第二版)高等教育 出版社1989年出版的习题全解 本书按教材各章习题顺序编排,与教材的题号一致,少数题 目有一题多解.在有些题解中,指出易犯的错误,究其原因,澄清 不正确的想法在有些题解中,指出在解题时应当注意的事项 通过对本书的参考和学习,可使读者提高分析问题和解题的 能力,加深对基本内容的理解和掌握,还会增强对学好本门课程 的信心和兴趣 我们希望读者先自行思考,自己解题,然后与题解进行对照、 如果自己不动手去做题,而是照抄,是无益的. 本书的习题题号与第三版的习题题号相同由于第二版、第 三版书的页次和习题编号不同,在书末附有引文中涉及两本书的 页次的对照表,以及第二版习题题号与本书习题题号的对照表 教材第三版中的“选做习题”本书中有题目和题解,持第二版教材 的读者同样可以参阅 本书可作为大学理科、工科学生学习概率论与数理统计课程 的参考书,可供报考研究生的读者和工程技术人员参考. 本书承浙江大学范大茵教授详细审阅,她提出许多宝贵意 见,对此我们表示衷心的感谢. 本书不足之处,诚恳地希望读者批评指正 盛骤谢式千潘承毅 2003年5月
目录 第一章 概率论的基本概念 1 第二章 随机变量及其分布 30 第三章 多维随机变量及其分布 59 第四章 随机变量的数字特征 94 第五章 大数定律及中心极限定理 122 第六章 样本及抽样分布 130 第七章 参数估计 135 第八章 假设检验 161 第九章 方差分析及回归分析 190 第十章 随机过程及其统计描述 211 第十一章 马尔可夫链 221 第十二章 平稳随机过程 234 第十三章 选做习题 250 第十四章 教材第二版中未被列人第三版的习题 …………… 309 附录 336 引文出处页码对照表 336 第二版习题题号与本书习题题号的对照表………337
第一章概率论的基本概念 1.写出下列随机试验的样本空间S (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记 分) (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件 (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上“正品”,不合 格的记上“次品”如连续查出了2个次品就停止检查,或检查了4 个产品就停止检查,记录检查的结果 4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标 解(1)以n表示该小班的学生数,总成绩的可能取值为0, 1,2,3,…,100n,所以试验的样本空间为 z=0,1,2,…,100 (2)设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品,样本空 间为S={10+k|k=0,1,2,…}或写成S={10,11,12,… (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品 例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检 查到的是正品,样本空间可表示为 S={00,100,0100,0101,0110,1100,1010 1011,011,1101,1110,1111 (4)取一直角坐标系,则有S=1(x,y)1x2+y2<1},若取 极坐标系,则有S={(p,0)|p<1,0≤θ<2r 2.设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列各 事件:
概率论与教理统计习题全解指南 1)A发生,B与C不发生 (2)A与B都发生,而C不发生 (3)A,B,C中至少有一个发生 (4)A,B,C都发生 (5)A,B,C都不发生 (6)A,B,C中不多于一个发生 (7)A,B,C中不多于两个发生 (8)A,B,C中至少有两个发生 解以下分别用D:(i=1,2,…,8)表示(1),(2),…,(8)中 所给出的事件注意到一个事件不发生即为它的对立事件发生 例如事件A不发生即为A发生 (1)A发生,B与C不发生,表示A,B,C同时发生,故 1=ABC或写成D1=A-B-C (2)A与B都发生而C不发生,表示A,B,C同时发生,故 D2=ABC或写成D2=AB-C (3)由和事件的含义知,事件AUB∪C即表示A,B,C中 至少有一个发生,故D3=AUB∪C 也可以这样考虑:事件“A,B,C至少有一个发生”是事件 A,B,C都不发生”的对立事件,因此D3=ABC 也可以这样考虑:事件“A,B,C中至少有一个发生”表示三 个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生,因此 D3又可写成 ABC∪ ABC U ABC U ABC U ABC∪ ABC U ABC (4)D4=ABC (5)Ds= ABC. (6)“A,B,C中不多于一个发生”表示A,B,C都不发生或 A,B,C中恰有一个发生,因此D6=ABC∪ABC∪ABCU ABC
第一章概率论的基本概念 3 又“A,B,C中不多于一个发生”表示“A,B,C中至少有两个 不发生”,亦即AB,BC,AC中至少有一个发生,因此又有 D6 AB U BC U CA 又“A,B,C中不多于一个发生”是事件G=“A,B,C中至 少有二个发生”的对立事件,而事件G可写成G= AB U BC U CA,因此又可将D;写成 D6= ABU BC U CA=AB∩BC∩CA (7)“A,B,C中不多于二个发生”表示A,B,C都不发生或 A,B,C中恰有一个发生或A,B,C中恰有二个发生,因此,D7= ABC∪ ABC U ABC U ABC∪ ABC U ABC U ABC.又“A,B, C中不多于二个发生”表示A,B,C中至少有一个不发生,亦即 A,B,C中至少有一个发生,即有D,= AUBUC 又“A,B,C中不多于二个发生”是事件“A,B,C三个都发 生”的对立事件,因此又有D,=ABC (8)Ds= ABU BC∪CA,也可写成Ds= ABC U ABC∪ ABC U ABC 注意:(i)两事件的差可用对立事件来表示,例如A-B= AB,A-BC=ABC.(i)易犯的错误是,误将AB与AB等同起 来,事实上,AB=A∪B≠AB,又如ABC=A∪BUC≠ ABC.(i)误以为S=A∪B∪C,事实上,S-AUB∪C可 能不等于必,一般 SDAUBUC 3.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7.问:(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值最大值是多少?(2)在什么条 件下P(AB)取到最小值,最小值是多少? 解由加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AU B)=1.3- P(AUB). (1)因A∪B→B,故若P(A∪B)=P(B)=0.7,则 P(AB)取到最大值,最大值为0.6
4 概率论与数理统计习题全解指南 (2)因A∪BCS,故若P(AUB)=P(S)=1,则P(AB) 取到最小值,最小值为0.3 4.设A,B,C是三事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4 P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8.求A,B,C至少有一个发 生的概率 解P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) P(BC)-P(AC)+P(ABC) =5/8+P(ABC). 由 ABC C AB,且已知P(AB)=0,得 0≤P(ABC)≤P(AB)=0, 故P(ABC)=0,因此所求概率为P(A∪BUC)=5/8 注:不要误以为:P(AB)=0,就有AB=x,事实上,当 P(AB)=0时,AB不一定为必 以下以E表示随机试验,以N(S)表示样本空间S中基本事 件的总数,以N(A)表示事件A中包含的基本事件数.古典概率 的计算公式是:P(A)=N(A)/N(S) 5.在一标准英语字典中有55个由两个不相同的字母所组成 的单词,若从26个英文字母中任取两个字母予以排列,求能排成 上述单词的概率 解E:从26个字母中任取2个进行排列可知共有A26种结 果,即N(S)=A25.以A表示事件:“所取2个字母排列成标准英 语字典中由两个不同字母组成的一个单词”,则有 P(A)=N(s)A228311 N(A)_55 6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任 选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率.(2)求最 大号码为5的概率 解E:在房间里任选3人,记录其佩戴的纪念章的号码.10
第一章概率论的基本概念 人中任选3人共有 120种选法,此即为样本点的总数.以A 记事件“最小的号码为5”,以B记事件“最大的号码为5 (1)因选到的最小号码为5,则其中一个号码为5且其余两个 号码都大于5,它们可从6~10这5个数中选取,故N(A)=(), 2 从而 P(A)=N(A)/N(S)= 1/12. 2 3 (2)同理,N(B) 故 2 4)/10 P(B)= N(B/N(S) l/20 2//(3 7.某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶、红 漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾 客问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所订 颜色如数得到订货的概率是多少? 解E:在17桶油漆中任取9桶给顾客以A表示事件“顾客 取到4桶白漆,3桶黑漆与2桶红漆”则有N(S)1),N(A) 9 101/41(3 4八3八2 故 P(A)= N(A)/N(S) 101/41/3\//17 252/2431 4)13/(2 8.在1500个产品中有400个次品、1100个正品.任取200 个.(1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率 解E:从1500个产品中任取200个产品以A表示事件“恰 有90个次品",以B,表示事件“恰有i个次品",=0,1,以C表示 事件“至少有2个次品
概率论与数理统计习题全解指南 1500 (1)N(S)= 200 400 1100 400\/1100 N(A) 90)200-90 110 故P(A)=N(A)/N(S) 400/11001//1500 90110 (2)C=S-B0-B1,其中B0,B1互不相容,所以 P(C Bo--B1)=P(S-[BoU B13) I-P(B0B1)=1-P(B0)-P(B1) 因 (B0)= 1100 200/N(B1) 400}/1100 故 1100 1500 P(B0)= P(B1) 400)/1100}//1500 200 200 因此有 P(C)=1 11001//15001(400}/1100}/1500 200 200 1100 400}/1100 1500 200 1 199 200 9.从5双不同的鞋子中任取4只,问这4只鞋子中至少有两 只配成一双的概率是多少? 解E:从5双不同的鞋子中任取4只以A表示事件“所取 4只鞋子中至少有两只配成一双鞋子”,则A表示事件“所取4只 鞋子无配对的”先计算P(A)较为简便.以下按N(A)的不同求 法,列出本题的3种解法,另外还给出一种直接求P(A)的解法 解法()考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的.自5双 (10只)鞋子中任取4只共有10×9×8×7种取法,N(S) 10×9×8×7.现在来求N(A).第一只可以任意取,共有10种
第一章概率论的基本概念 取法,第二只只能在剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的 8只鞋子中任取一只,共8种取法.同理第三只、第四只各有6种、4 种取法,从而N(A)=10X8×6×4.故 P(A)=1-P(A)=1-N(A)/N(S 1-10×8×6×4_13 10×9×8× 解法(i)从10只鞋子中任取4只,共有。】种取法,即 10 N(S)= 为求N(A),先从5双鞋子中任取4双共有 种 4 取法,再自取出的每双鞋子中各取1只(在一双中取一只共有2种 取法),共有24种取法,即N(A) 5 4 5 P(A)=1-P(A)=1 解法(i)现在来求N(A).先从5只左脚鞋子中任取k只 =0,1,2,3,4),有(,种取法,而剩下的4-k只鞋子只能从 k (不能与上述所取的配对的)5一k只右脚鞋子中选取,即对于每个 固定的k,有 5)/5-k k八(4一k 种取法故 N(A) k k(4一k 故 P(A)=1-P(A) (A)/N(S) 80 10)21 4
