江画工太猩院 第三章 中值定理与 导数的应用
江西理工大学理学院 第三章 中值定理与 导数的应用
江画工太猩院 第1节 中值定理
江西理工大学理学院 第 1 节 中值定理
江西理工大学理学院 、罗尔(Rolle)定理 罗尔(Rolle)定理如果函数f(x)在闭区间a,b 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 (a<<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零, 即f()=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1) 在-13]上连续,在(-1,3)上可导,且f(1)=f(3)=0, ∵f(x)=2(x-1),取=1,(1e∈(-13)f()=0
江西理工大学理学院 一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b)内至少有一点 ξ(a < ξ < b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f ξ = (1) ( ) 2) (3 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, Q f ′(x) = 2(x − 1), 取ξ = 1, (1∈(−1,3)) f ′(ξ) = 0
江画工太猩院 几何解释 C y=f∫(x) 在曲线弧AB上至少有 心 点C,在该点处的切线是 水平的 0 a 物理解释: 变速直线运动在折返 点处,瞬时速度等于 果 点击图片任意处播放暂停
江西理工大学理学院 点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在折返 点处, 瞬时速度等于 零. 几何解释: a ξ1 ξ 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
江画工太猩院 证∵∫(x)在[a,b连续,必有最大值M和最小值m ()若M=m.则∫(x)=M. 由此得∫(x)=0.v∈(a,b),都有∫()=0 (2)若M≠m.∵∫(a)=f(b, ∴最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a, 则在(ab)内至少存在一点使f()=M. ∵∫(+Δx)sf(,∴∫(ξ+△)-f(9)≤0
江西理工大学理学院 证 (1) 若 M = m. Q f (x) 在[a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f ′(x) = 0. ∀ ξ∈(a,b), 都有 f ′(ξ) = 0. (2) 若 M ≠ m. Q f (a) = f (b), ∴最值不可能同时在端点 取得. 设 M ≠ f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 ξ 使 f (ξ ) = M. Q f (ξ + ∆x) ≤ f (ξ), ∴ f (ξ + ∆x) − f (ξ) ≤ 0
江画工太猩院 若Ax>0,则有 f(ξ+△x)-f(5) < △r 若△x<0,则有(5+Ax)-f1)、 ∫'()=lim ∫(ξ+△x)-f(2) ≥0 △v ∫()=mf(+△r)-f(0¨f5)存在, A→+0 △r f(9)=f“().∴只有∫(2)=0
江西理工大学理学院 若 ∆x > 0, 0; ( ) ( ) ≤ ∆ ξ + ∆ − ξ x f x f 则有 若 ∆x < 0, 0; ( ) ( ) ≥ ∆ ξ + ∆ − ξ x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim0 ≥ ∆ ξ + ∆ − ξ ∴ ′ ξ = ∆ →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim0 ≤ ∆ ξ + ∆ − ξ ′ ξ = ∆ →+ + x f x f f x Q f ′(ξ)存在, ∴ ′(ξ) = ′(ξ). − + f f ∴只有 f ′(ξ) = 0
江画工太猩院 注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立 例如,y=x,x∈[-2 在|-2,上除∫(0)不存在外,满足罗尔定理 的一切条件,但在区间2,2内找不到一点能 使∫(x)=0 又例如,y= x,x∈(0,1 0.x=0 y=x,x∈10,1
江西理工大学理学院 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x ∈[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 的一切条件 在 − 上除 f ′ 不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [-2 2] 使 f ′ x = 但在区间 ， 内找不到一点能 ; 0, 0 1 , (0,1] ⎩⎨⎧ = − ∈ = xx x y y = x, x ∈[0,1]. 又例如
江画工太猩院 例证明方程x3-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根. 证设∫(x)=x3-5x+,则∫(x)在,连续, 且f(0)=1f(1)=3.由零点定理 日x0∈(,1,使f(x)=0.即为方程的小于1的正实根 设另有x1∈(0,1,x≠x1,使f(x)=0 f(x)在xn,x1之间满足罗尔定理的条件, ∴至少存在一个(在x,x1之间使得∫(6)=0. 但∫(x)=5(x2-1)<0(x∈(0,1)矛盾,;x为唯一实根
江西理工大学理学院 例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由零点定理 (0,1), ( ) 0. ∃ x0 ∈ 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 1 1 0 设另有 x ∈ x ≠ x ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , Q f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条 件 ∴至少存在一个 ξ (在 x0 , x1 之间),使得 f ′(ξ) = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f ′ x = x − < 0, (x ∈(0,1)) 矛盾, . ∴ x0为唯一实根
江画工太猩院 二、拉格朗日( Lagrange)中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数八在 闭区间|nb上连续在开区间(nb内可导那末在 (a,b)内至少有一点ξa<ξ<b,使等式 f(b)-f(a)=f(2)(b-a)成立 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了∫(a)=f(b) 结论亦可写成0)-(-ri b
江西理工大学理学院 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点ξ(a < ξ < b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f ξ b − a 成立. (1) (2) 注意 :与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) = ′ ξ − − f b a f b f a 结论亦可写成
江画工太猩院 几何解释: C y=f∫(x) B 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切 D 线平行于弦AB. 0 式 证分析:条件中与罗尔定理相差f(a)=f(b) 弦4B方程为y=f(a)+ ∫(b)-∫(a) x-a 曲线f(x)减去弦AB 所得曲线a,b两端点的函数值相等
江西理工大学理学院 o a ξ1 x ξ 2 b x y y = f (x) A B C N D M 几何解释: . , AB C AB 线平行于弦 一点 在该点处的切 在曲线弧 上至少有 证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) = f (b). 弦AB方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − −− = + 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线 a, b两端点的函数值相等