江画工太猩院 第六章 向量代数与 空间解析几何
江西理工大学理学院 第六章 向量代数与 空间解析几何
江画工太猩院 第1节 间直角坐标系 向量及其运算
江西理工大学理学院 第 1 节 空间直角坐标系 向量及其运算
江画工太猩院 数轴上的点与数具具有一一对应的关系。 平面直角坐标系使我们建立了平面上的点 (x,y)与一对有序数组之间的一一对应关系,沟 通了平面图形与数的研究 为了沟通空间图形与数的研究,我们用类 似于平面解析几何的方法,通过引进空间直角 坐标系来实现
江西理工大学理学院 为了沟通空间图形与数的研究，我们用类 似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角 坐标系来实现。 数轴上的点与数 具有一一对应的关系。 x 平面直角坐标系使我们建立了平面上的点 与一对有序数组之间的一一对应关系，沟 通了平面图形与数的研究。 ( x , y )
江画工太猩院 一、空间点的直角坐标 三个坐标轴的正方向 z竖轴 符合右手系 即以右手握住z轴, 当右手的四个手指从 定点0 正向x轴以。角 y纵轴 度转向正向y轴时, 横轴x 大拇指的指向就是 轴的正向. 空间直角坐标系 注:为使空间直角坐标系画得更富于立体感通 常把x轴和y轴间的夹角画成130左右
江西理工大学理学院 横轴 x y 纵轴 z 竖轴 定点 o • 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向 符合右手系 . 即以右手握住 z轴， 当右手的四个手指从 正向 x轴以 2 π 角 度转向正向 y轴时， 大拇指的指向就是 z 轴的正向. 一、空间点的直角坐标 注：为使空间直角坐标系画得更富于立体感通 常把 轴和 轴间的夹角画成 左右。 x y 0 130
江画工太猩院 Ⅲ zor 面 z面 0 xOy面 Ⅶx 空间直角坐标系共有八个卦限
江西理工大学理学院 Ⅶ x o y z xoy面 yoz面 zox面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ
江画猩工式塑辱院 空间的点<有序数组(x,y,) 特殊点的表示:坐标轴上的点P,Q,R, 坐标面上的点A,B,C,0(0,0,0) R(0,0,x) B(0,y,z) C(x,0,x) rM(, y, z) 「0.,0) xP(x, 0,0) A(x,y,0)
江西理工大学理学院 空间的点 有序数组 ←⎯⎯→ ( x , y , z ) 1 − − 1 特殊点的表示 : O ( 0 , 0 , 0 ) • M ( x, y,z ) x y z o P ( x,0,0 ) Q ( 0, y,0 ) R ( 0,0,z ) A ( x , y , 0 ) B ( 0 , y , z ) C ( x , o , z ) 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C
江画工太猩院 例1求点(a,b,c)关于(各坐标面;(2各坐 标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标 解(1)点(a,b,c)关于xOy面的对称点是(a,b,-c); 关于O面的对称点是(-a,b,c);关于zOc面的对 称点是(a,-b,c); (2)点(a,b,c)关于x轴的对称点是(a,-b,-c); 关于y轴的对称点是(-a,b,-C);关于z轴的对 称点是(-an,-b,c (3)点(a,b,c)关于原点的对称点是(-a,-b,-c);
江西理工大学理学院 例1 标轴；（ ）坐标原点的对称点的 坐标。 求点 关于（）各坐标面；（ ）各坐 3 (a,b,c) 1 2 解 (1)点(a,b, c)关于xOy面的对称点是 (a,b,−c); 关于yOz面的对称点是 (−a,b, c); (a, b, c); zOx 称点是 − 关于 面的对 (2)点(a,b, c)关于x轴的对称点是 (a,−b,−c); 关于y轴的对称点是 (−a,b,−c); ( a, b, c); z 称点是 − − 关于 轴的对 (3)点(a,b, c)关于原点的对称点是 (−a,−b,−c);
江画工太猩院 二、空间两点间的距离 设M(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,2)为空间两点 R M 2在直角△M1MM2 及直角△MN N中,使用勾股定 y理知 d2=M,P+PN"+MM2
江西理工大学理学院 设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点 x y z o • M1 P N Q R •M2 ? d = M1M2 = 在直角∆M1NM2 及直角 ∆M1PN 中，使用勾股定 理知 , 2 2 2 2 1 d 2 = M P + PN + NM 二、空间两点间的距离
江画工太猩院 M P=x,-x,l, R PN=32-yl, P NM2=2-1 d=M, P+ PN"+NM2 M1M2=(x2-x)+(12-y1)+(2-z) 空间两点间距离公式 特殊地:若两点分别为M(x,y,z),O(0,.0 d=0M=、x2+y2+z
江西理工大学理学院 , Q M1P = x2 − x1 , 2 1 PN = y − y , 2 2 1 NM = z − z 2 2 2 2 ∴d = M1P + PN + NM ( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为M(x, y,z) , O(0,0,0) d = OM . 2 2 2 = x + y + z x y z o • M1 P N Q R •M2
江画工太猩院 例2求证以M1(4,3,1)、M2(7,2)、M35,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解M1M2=(7-4+(1-3+(2-13=14 1M32=65-7)+2-12+(3 M3M12=(4-5}2+(3-2)2+(1-3)2=6, M2M3=M3M1,原结论成立
江西理工大学理学院 例 2 求证以 (4,3,1) M1 、 (7,1,2) M2 、 (5,2,3) M3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 =2 M1M2 (7 4) (1 3) (2 1) 14, 2 2 2 − + − + − = = 2 M2M3 (5 7) (2 1) (3 2) 6, 2 2 2 − + − + − = = 2 M3M1 (4 5) (3 2) (1 3) 6, 2 2 2 − + − + − = ∴ M2M3 , = M3M1 原结论成立