江画工太猩院 第5节 平面及其方程
江西理工大学理学院 第 5 节 平面及其方程
江西理工大学理学院 、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 M 该平面的法线向量 0 y 法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 已知={,b,C},Mn,y 设平面上的任一点为M(x,y, 必有MM⊥→Mmn=0
江西理工大学理学院 x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C}, r ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M nr 必有 0 ⊥ ⇒ M0M ⋅n = 0 r 一、平面的点法式方程 n r
江画工太猩院 M0M={x-x1,y-Ja,z-项} A(x-x)+B(y-y)+C(z-)=0 平面的点法式方程 其中法向量n={A,B,C},已知点(x,y0,列 平面上的点都满足上方程,不在平面上的 点都不满足上方程,上方程称为平面的方程, 平面称为方程的图形
江西理工大学理学院 { , , } 0 0 0 0 Q M M = x − x y − y z − z ∴ A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形． 其中法向量 n = {A,B,C}, r 已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z
江画工太猩院 例1求过三点4(2,-1,4)、B(-13-2)和 C(0,2,3)的平面方程 解AB={-3,46} AC={-2,3,-1} 取正= ABAC={4,-1, 所求平面方程为14(x-2)+9y+1)-(z-4)=0, 化简得14x+9y-z-15=0
江西理工大学理学院 例 1 求过三点A(2,−1,4)、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = {−3, 4,−6} AC = {−2, 3,−1} 取 n = AB× AC r = {14, 9,−1}, 所求平面方程为 14(x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 14x + 9 y − z − 15 = 0
江画工太猩院 例2求过点(1,1),且垂直于平面x-y+z=7和 3x+2y-12z+5=0的平面方程 解n1={,-1,1},吃2=132,-12} 取法向量n=1Xn={10,153, 所求平面方程为 10x-1)+15(y-1)+5(z-1)=0, 化简得2x+3y+z-6=0
江西理工大学理学院 例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x − y + z = 7和 3x + 2 y − 12z + 5 = 0的平面方程. {1, 1,1}, n1 = − r {3,2, 12} n2 = − r 取法向量 n n1 n2 r r r = × = {10,15,5}, 10(x − 1) + 15( y − 1) + 5(z − 1) = 0, 化简得 2x + 3 y + z − 6 = 0. 所求平面方程为 解
江画工太猩院 二、平面的一般方程 由平面的点法式方程 A(x-x)+B(y-y0)+C(x-0)=0 = Ax+ By+Ci-(Axo+ Byo +Cz0)F0 D Ax+B+C+D=0平面的一般方程 法向量n={A,B,C}
江西理工大学理学院 由平面的点法式方程 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 ⇒ A x + By + Cz − ( A x 0 + By 0 + Cz 0 ) = 0 = D Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程 法向量 n = { A , B , C}. r 二、平面的一般方程
江画工太猩院 平面一般方程的几种特殊情况: (1)D=0,平面通过坐标原点; D=0,平面通过x轴 (2)A=0, D≠0,平面平行于x轴 类似地可讨论B=0,C=0情形 D=0,平面通过y轴 B=0 D≠0,平面平行于y轴; D=0,平面通过z轴; C=0,1D≠0,平面平行于z轴
江西理工大学理学院 平面一般方程的几种特殊情况： ( 1 ) D = 0 , 平面通过坐标原点； ( 2 ) A = 0 , ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 0 , 0 , D D 平面通过 轴； x 平面平行于 轴； x 类似地可讨论 情形 B = 0 , C = 0 . B = 0 , ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 0 , 0 , D D 平面通过 轴； y 平面平行于 轴； y C = 0 , ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 0 , 0 , D D 平面通过 轴； z 平面平行于 轴z
③企双大理 (3)A=B=0,平面平行于xy坐标面; 类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形. A=C=0,平面平行于z0x坐标面; B=C=0,平面平行于10坐标面 如:x-1=0 x+y-1=0 y y
江西理工大学理学院 (3) A = B = 0, 平面平行于 坐标面； xoy 类似地可讨论 情形 A = C = 0, B = C = 0 . A = C = 0, 平面平行于 坐标面； zox B = C = 0, 平面平行于 坐标面 yoz . 如： x − 1 = 0 x y z o 1 x + y − 1 = 0 x y z o 1 1
江画工太猩院 例3设平面过原点及点(6,-3,2),且与平面 4x-y+2z=8垂直,求此平面方程 解设平面为Ax+B+Cz+D=0 由平面过原点知D=0, 由平面过点(6,-3,2)知6A-3B+2C=0 币⊥{4,-1,2}, 4A-B+2C=0 →A=Bs、2 所求平面方程为2x+2y-3z=0
江西理工大学理学院 例 3 设平面过原点及点(6,−3,2)，且与平面 4x − y + 2z = 8垂直，求此平面方程. 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0, 由平面过点(6,−3,2)知 6A− 3B + 2C = 0 n⊥{4,−1,2}, r Q ∴4A− B + 2C = 0 , 3 2 ⇒ A = B = − C 所求平面方程为 2x + 2 y − 3z = 0. 解
江画工太猩院 例4设平面与x,y,三轴分别交于P(a,00) Q0,b,0)、R(0,c)(其中a≠0,b≠0,C≠0), 求此平面方程 解设平面为Ax+By+Cz+D=0, a+D=0, 将三点坐标代入得{bB+D=0 CC +D=0, 4- D D D B= C
江西理工大学理学院 例 4 设平面与x, y,z三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a ≠ 0，b ≠ 0，c ≠ 0）， 求此平面方程. 设平面为Ax + By + Cz + D = 0, 将三点坐标代入得 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ + = + = + = 0, 0, 0, cC D bB D aA D ⇒ , a D A = − , bD B = − . cD C = − 解