江画工太猩院 第二节 对坐标的曲线积分
江西理工大学理学院 第二节 对坐标的曲线积分
江西理工大学理学院 二、问题的提出 y B M 实例:变力沿曲线所作的功 Ayi L:A→B M4 M A F(x,y)=(x, y)i+2(x, y) j o X 常力所作的功W=F.AB 分割A=m,M(x,y),,(,),n=B MM=(i+(4
江西理工大学理学院 o x y A B L 一、问题的提出 Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ∆xi i 实例: 变力沿曲线所作的功 ∆y L : A → B, F x y P x y i Q x y j r r ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1 L Mn−1 xn−1 yn−1 Mn = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i r r − = ∆ + ∆ W = F ⋅ AB
江画工太猩院 取F5,n)=P(5,m)+Q(5,n) M △W1≈F(5;,m)·M1M; MM 即△形1≈P,m)Ax1+Q(5,m)Ay;° 求和W=∑△W 匚近似值 ∑P(5,m)△x+Q(5,m),Ay 取极限W=im∑P(5,n)Ax+Q(5,m)4y i=l 匚精确值
江西理工大学理学院 求和 [ ( , ) ( , ) ]. 1 ∑ = ≈ ⋅ ∆ + ⋅ ∆ n i i i i i i i P ξ η x Q ξ η y 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 ∑= → = ⋅ ∆ + ⋅ ∆ n i i i i i i i W P ξ η x Q ξ η y λ 近似值 精确值 ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 ∆W ≈ P ξ η ∆x + Q ξ η ∆y ∑ = = ∆ n i W Wi 1 o x y A B L M n−1 M i M i−1 M 2 M1 ( , ) F ξ i η i ∆xi i ∆y ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi ∆ ≈ ξ η ⋅ F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i r r 取 ξ η = ξ η + ξ η
江画工太猩院 、对坐标的曲线积分的概念 1定义设L为xoy面内从点4到点B的一条有 向光滑曲线弧,函数P(x,y),Q(x,y)在L 上有界用L上的点M(x,y1),M2(x2H2 ,Mn1(xn1,yn把L分成n个有向小弧段 M:1M1(i=1,2,…,r;M=A,Mn=B 设x=x;-x1,Ay;=y1-y1,点(ξ,n为 M21M上任意取定的点如果当各小弧段 长度的最大值→0时
江西理工大学理学院 二、对坐标的曲线积分的概念 1.定义 0 , . , , ( , ) ( 1 , 2 , , ; , ). , ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( , ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 长度的最大值 时 上任意取定的点 如果当各小弧段 设 点 为 把 分成 个有向小弧段 上有界 用 上的点 向光滑曲线弧 函数 在 设 为 面内从点 到点 的一条有 λ → ∆ = − ∆ = − ξ η = = = − − − − − − − i i i i i i i i i i i i n n n n M M x x x y y y M M i n M A M B M x y L n L M x y M x y P x y Q x y L L xoy A B L L
江画工太猩院 ∑P5,mnA的极限存在,则称此极限为函 数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线 积分(或称第二类曲线积分),记作 「Px)k=m∑P(5m 类似地定义「Qx,)p=imC5,m)A 0 其中P(x,y),Q(x,y)叫做被积函数,L叫积分弧段
江西理工大学理学院 ( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) ( , ) , 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x P x y L x P x = ∆ ∆ ∫ ∑ ∑ = → = ξ η ξ η λ 积分 或称第二类曲线积分） 记作 数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函 类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i LQ x y dy = ∑Q ∆y ∫ = → ξ η λ 其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数 , L叫积分弧段
江画工太猩院 2存在条件:当Px,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时,第二类曲线积分存在 3组合形式 J P(, y)dx+, o(x,y)dy =,P(x,yltx+Q(x,y)=「F·d 其中F=P+Q,d=di+d
江西理工大学理学院 2.存在条件： , . ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 当P x y Q x y 在光滑曲线弧 L 3.组合形式 ∫ ∫ ∫ = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F Pi Qj, ds dxi dyj. r r r r r 其中 = + = + . ∫ = ⋅ LF ds r
江画工太猩院 4.推广 空间有向曲线弧r「P+小+Rz P(x,0k=m∑P(5)△x Q(x,,=im∑Q,n, -0 R(x,y)z=Iim∑R(,n1,引△z →>04
江西理工大学理学院 4.推广 空间有向曲线弧 Γ ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i P x y z dx = ∑P ∆x ∫ = Γ → ξ η ζ λ . ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = ∑Q ξ η ζ ∆y ∫ = Γ λ→ ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = ∑R ξ η ζ ∆z ∫ = Γ λ→
江画工太猩院 5性质 (1)如果把L分成L和L,则 「P+=P+Q+P+0小 (2)设L是有向曲线弧,L是与L方向相反的 有向曲线弧,则 P(x, y dx+2(, y)dy=-L, P(, y)dx+ 2(x, y) dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关
江西理工大学理学院 5.性质 . (1) , 1 2 1 2 ∫ ∫ ∫ + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把 L分成 L 和L 则 有向曲线弧 则 设 是有向曲线弧 是与 方向相反的 , (2) L ,−L L 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. ∫ ∫ + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
江画工太猩院 对坐标的曲线积分的计算 定理设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连 续,L的参数方程为X(当参数单调地由c变 y=y(t), 到B时,点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B, g(t),y()在以a及为端点的闭区间上具有一阶连 续导数,且g2(1)+y2()≠0,则曲线积分 P(x,)d+(x,y)小存在
江西理工大学理学院 三、对坐标的曲线积分的计算 ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) 0 , ( ), ( ) , ( , ) , ( ), ( ), , ( , ), ( , ) 2 2 存在 续导数 且 则曲线积分 在以 及 为端点的闭区间上具有 一阶连 到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 续 的参数方程为 当参数 单调地由 变 设 在曲线弧 上有定义且连 ∫ + ′ + ′ ≠ ⎩ ⎨ ⎧ = = L P x y dx Q x y dy t t t t M x y L A L B t y t x t L P x y Q x y L ϕ ψ ϕ ψ α β β α ψ ϕ 定理
江画工太猩院 且P(x,y+g(x,y a:起点;B:终点 特殊情形 (1)L:y=y(x)x起点为a,终点为b. 则[P+q={Px,(x)+Q1x)儿y(x) (2)L:x=x(y)起点为e,终点为d 则[PQ小={Px(y,yx(y)+x(y,yk L
江西理工大学理学院 P t t t Q t t t dt P x y dx Q x y dy L { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( , ) ( , ) ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ β α = ′ + ′ + ∫ 且∫ 特殊情形 (1) L : y = y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b ∫L ∫a 则 + = + ′ (2) L : x = x( y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x( y), y]x ( y) Q[x( y), y]}dy. d ∫L ∫c 则 + = ′ + α : 起点;β :终点