江画工太猩院 第六节 偏导数的几何应用(二) 方向导数与梯度
江西理工大学理学院 第六节 偏导数的几何应用 ( 二 ) 方向导数与梯度
江西理工大学理学院 曲面的切平面与法线 设曲面方程为 F(x,y,)=0 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 x=() T: y=(t),x 曲线在M处的切向量T={(),),)
江西理工大学理学院 设曲面方程为 F(x, y,z) = 0 { ( ), ( ), ( )}, 0 0 0 T = φ′ t ψ′ t ω′ t r 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 , ( ) ( ) ( ) : ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = = Γ z t y t x t ω ψ φ 一、曲面的切平面与法线 n r T r M
江画工太猩院 令n={ x(0y0940 y(090,409 ,F2(x0,y,0 则nT,由于曲线是曲面上通过M的任意一 条曲线,它们在M的切线都与同一向量垂直, 故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在 同一平面上,这个平面称为曲面在点M的切平面 切平面方程为 F(os Jo,0(x-x0+F(o,yo, 0(y-yo) +F2(x2y,)z-)=0
江西理工大学理学院 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z = x y z r 令 则 n T, r r ⊥ 由于曲线是曲面上通过M 的任意一 条曲线，它们在M 的切线都与同一向量nr垂直， 故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面. 切平面方程为 ( , , )( ) 0 ( , , )( ) ( , , )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + − = − + − F x y z z z F x y z x x F x y z y y z x y
江画工太猩院 通过点M(x,y,0)而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线 法线方程为 x-x y x-40 x(“05y0560 y(000 05y0540 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量即 五={F2(xy,F(x0,,列,F2(x,y,项
江西理工大学理学院 通过点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线. 法线方程为 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x x y z − = − = − { ( , , ), ( , , ), ( , , )} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z = x y z r 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量
江画工太猩院 特殊地:空间曲面方程形为z=f(x,y) 令F(x,y,z)=f(x,y)-z, 曲面在M处的切平面方程为 ∫(x,y(x-x)+f(x,)(y-)=z-, 曲面在M处的法线方程为 x-0y-y3= ∫(x,y)f,)-1
江西理工大学理学院 特殊地：空间曲面方程形为 z = f ( x , y ) 曲面在 M处的切平面方程为 ( , )( ) ( , )( ) , 0 0 0 0 0 0 0 f x y x x f x y y y z z x − + y − = − 曲面在 M处的法线方程为 . ( , ) ( , ) 1 0 0 0 0 0 0 0 − − = − = − z z f x y y y f x y x x x y 令 F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z
江画工太猩院 全微分的几何意义 因为曲面在M处的切平面方程为 区-Ff(x,x-x)+∫(x,y- 切平面函数z=f(x,y)在点(x)全微分 上点的 竖坐标 的增量 z=∫(x,y)在(x,y)的全微分,表示 曲面z=f(x,y)在点(x0,y,)处的 切平面上的点的竖坐标的增量
江西理工大学理学院 ( , )( ) ( , )( ) 0 0 0 0 0 0 0 z z f x y x x f x y y y − = x − + y − 切平面 上点的 竖坐标 的增量 函数z = f (x, y)在点(x0 , y0 )的全微分 因为曲面在M处的切平面方程为 全微分的几何意义 z = f (x, y)在( , ) 0 0 x y 的全微分，表示 曲面 z = f (x, y)在点( , , ) 0 0 0 x y z 处的 切平面上的点的竖坐标的增量
江画工太猩院 若a、B、y表示曲面的法向量的方向角, 并假定法向量的方向是向上的,即使得它与 轴的正向所成的角y是锐角,则法向量的方向 余弦为 COSa= -f 1+f+f 其中 1+∫+f f=f(x0,)
江西理工大学理学院 若 α 、 β 、 γ 表示曲面的法向量的方向角， 并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴的正向所成的角 γ 是锐角，则法向量的方向 余弦 为 , 1 cos 2 2 x y x f f f + + − α = , 1 cos 2 2 x y y f f f + + − β = . 1 1 cos 2 2 x y + f + f γ = ( , ) 0 0 f f x y x = x ( , ) 0 0 f f x y y = y 其中
江画工太猩院 例1求旋转抛物面z=x2+y2-1在点(2,1,4) 处的切平面及法线方程 解f(x,y)=x2+y2-1, 21=212,2y-1(14+=(42,-1, 切平面方程为4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0, →4x+2y-x-6=0, 法线方程为-2=y-1z-4 42 -1
江西理工大学理学院 例 1 求旋转抛物面 1 2 2 z = x + y − 在点(2,1,4) 处的切平面及法线方程. 解 ( , ) 1, 2 2 f x y = x + y − (2,1,4) (2,1,4) n = {2x, 2 y,− 1} r = {4, 2,−1}, 切平面方程为 4(x − 2) + 2( y − 1) − (z − 4) = 0, ⇒ 4x + 2 y − z − 6 = 0, 法线方程为 . 1 4 2 1 4 2 − − = − = x − y z
江画工太猩院 例2求曲面乙-2+2xy=3在点(1,2,0处的 切平面及法线方程 解令F(x,y,z)=z-已2+2xy-3, x(1,2,0) (1,2,0) 1,2,0) (1,2,0) F 3(1,2,0) (1,2,0) 切平面方程4x-1)+2(y-2)+0(z-0)=0, →2x+y-4=0, 法线方程 x-1y-2z-0 0
江西理工大学理学院 例 2 求曲面z − e + 2xy = 3 z 在点(1,2,0)处的 切平面及法线方程. 解 F(x, y,z) = z − e + 2xy − 3, z 2 4, (1,2,0) (1,2,0) Fx′ = y = 2 2, (1,2,0) (1,2,0) Fy′ = x = 1 0, (1,2,0) (1,2,0) ′ = − = z z F e 令 切平面方程 法线方程 4(x − 1) + 2( y − 2) + 0 ⋅(z − 0) = 0, ⇒ 2x + y − 4 = 0, . 0 0 1 2 2 1 − = − = x − y z
江画工太猩院 例3求曲面x2+2y2+3z2=21平行于平面 x+4y+6乙=0的各切平面方程 解设(x,y,)为曲面上的切点, 切平面方程为 2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+6x0(z-d0)=0 依题意,切平面方程平行于已知平面,得 s≠A 46z ,→x0=y0=列
江西理工大学理学院 例 3 求曲面 2 3 21 2 2 2 x + y + z = 平行于平面 x + 4 y + 6z = 0的各切平面方程. 解 设 为曲面上的切点 ( , , ) , 0 0 0 x y z 切平面方程为 2x0 (x − x0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6z0 (z − z0 ) = 0 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 , 6 6 4 4 1 2 0 0 0 x y z = = 2 . 0 0 0 ⇒ x = y = z
