江画工太猩院 第7节 二次曲面
江西理工大学理学院 第 7 节 二次曲面
江西理工大学理学院 基本内容 二次曲面的定义: 三元二次方程所表示的曲面称之 相应地平面被称为一次曲面. 见过的二次曲面有: 1球面:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 x2+y2+z=r2;z=a2-x2-y2 2柱面:x2+y2=d2;y2+=a 2 2 y=x; =x 3.锥面:z=x2+y2;=x2+y2;z=3(x2+y2)
江西理工大学理学院 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 一、基本内容 已见过的二次曲面有: 2 2 2 2 1.球面 :(x − a) + ( y − b) + (z − c) = R 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z = R ; z = a − x − y 2. : ; , 2 2 2 2 2 柱面 x + y = a y + z = a ;2 y = x 2 z = x 3. : ; ; 3( ) 2 2 2 2 2 2 2 锥面 z = x + y z = x + y z = x + y
江画工太猩院 还有下列几种二次曲面要讨论: 椭球面抛物面(椭圆抛物面双曲抛物面) 双曲面(单叶双曲面双叶双曲面) 讨论二次曲面性状的截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后 加以综合,从而了解曲面的全貌 以下用截痕法讨论上述几种二次曲面
江西理工大学理学院 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论上述几种二次曲面． 还有下列几种二次曲面要讨论 : 椭球面 ,抛物面 (椭圆抛物面 ,双曲抛物面 ) 双曲面 (单叶双曲面 ,双叶双曲面 )
江画工太猩院 )椭球面+,+2=1 y, + φ×、b b2 =0 2 + 3×,D J=0 h|小c =1- +°=1 y=h |hkb x=h hka
江西理工大学理学院 (一) 椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 0 1 2 2 2 2 x c z b y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 0 1 2 2 2 2 z b y a x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 0 1 2 2 2 2 y c z a x x y z ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = < + = − y h h b b h c z a x | | 1 2 2 2 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = < + = − x h h a a h c z b y | | 1 2 2 2 2 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = < + = − z h h c c h b y a x | | 1 2 2 2 2 2 2
江画工太猩院 椭球面的几种特殊情况: 2 x y 4 2 1旋转椭球面 由椭圆"2+”,1=1绕z轴旋转而成 C x t z 方程可写为-2 + 旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面乙=(b<c交线是圆
江西理工大学理学院 椭球面的几种特殊情况： ( 1 ) a = b , 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z a y a x 旋转椭球面 1 2 2 2 2 + = c z a x 由椭圆 绕 轴旋转而成． z 旋转椭球面与椭球面的区别： 1 2 2 2 2 2 + = + c z a x y 方程可写为 与平面 z = h(| h |< c )的交线是圆
江画工太猩院 截面上圆的方程 x c (c-h2) h 2 (2)a=b=c,2+2+“2=1球面 方程可写为x2+y2+z2=a2
江西理工大学理学院 (2) a = b = c, 1 2 2 2 2 2 2 + + = a z a y a x 球面 . 2 2 2 2 x + y + z = a . ( ) 2 2 2 2 2 2 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = + = − z h c h c a x y 截面上圆的方程 方程可写为
江画工太猩院 (二)抛物面 1椭圆抛物面,+y -4 b2 用xy坐标面(z=截, 截得一点,即坐标原点O(0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 axe h x=0 Z=h>0 y 十,=Z 2=2 b b =0 h
江西理工大学理学院 z b y a x + = 2 2 2 2 1 .椭圆抛物面 , ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 0 2 2 2 2 x z b y a x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 0 2 2 2 2 y z b y a x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > + = 0 2 2 2 2 z h z b y a x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − y h b h z a x 2 2 2 2 x y z (二)抛物面 截得一点，即坐标原点 O ( 0 , 0 , 0 ) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 . 用xoy坐标面 ( z = 0 ) 截 , •
江画工太猩院 x y r y +,=-Z ,= a b Z
江西理工大学理学院 z x y o x y z o z by ax + = − 22 22 z by ax + = 22 22
江画工太猩院 特殊地:当a=b时,方程变为 +),=z旋转抛物面 y0上的抛物线z=,绕轴旋转一周得到 与平面z=M(h>0交线是圆, x2+y2=nih当h变动时,这些圆的中心 都在z轴上
江西理工大学理学院 特殊地：当 时，方程变为 a = b z a y a x + = 2 2 2 2 旋转抛物面 ⎩ ⎨ ⎧ = + = z h x y a h 2 2 2 . 2 2 上的抛物线 绕 z轴旋转一周得到 a y yoz z = 与平面 z = h ( h > 0 )的交线是圆 , . , 都在 轴上 当 变动时 这些圆的中心 z h
江画工太猩院 若方程为=x+2若方程为x=)+2 b c
江西理工大学理学院 2 2 2 2 c z a x 若方程为 y = + x y z x y z 2 2 2 2 c z b y 若方程为 x = +