江画工太猩院 第三节 格林公式及其用一
江西理工大学理学院 第三节 格林公式及其应用一
江西理工大学理学院 一、区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区 域,否则称为复连通区域 D D 单连通区域 复连通区域
江西理工大学理学院 一、区域连通性的分类 设 D为平面区域, 如果 D内任一闭曲线所 围成的部分都属于 D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域 D D
江画工太猩院 设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面,则称G为空间一维单连通区域. G 一维单连通一维单连通维不连通 二维单连通二维不连通二维单连通
江西理工大学理学院 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域. G G G 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通
江画工太猩院 二、格林公式 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围 成函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连 续偏导数,则有 a0 aP y=P+g(1) 其中L是D的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式
江西理工大学理学院 设闭区域D由分段光滑的曲线L围 成,函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连 续偏导数, 则有 ∫∫ ∫ = + ∂∂ − ∂∂ L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) (1) 其中L是D的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式. 二、格林公式 定理1
江画工太猩院 D D L由L与L连成L由L1与L2组成 边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边
江西理工大学理学院 L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边. L2 D L1 L2 L1 D
江画工太猩院 证明(1) y=p,(x) 若区域D既是X-型x=v(yD)B 又是Y-型,即平行于 坐标轴的直线和L至 ±y2(y) 多交于两点 Cy=91(x) D={xy)g(x)sy≤2(x),a≤x≤b D=x, y),sxsv20)), csysd
江西理工大学理学院 {( , ) ( ) ( ), } 1 2 D = x y ϕ x ≤ y ≤ ϕ x a ≤ x ≤ b 证明(1) 若区域D既是X −型 又是Y −型,即平行于 坐标轴的直线和L至 多交于两点. {( , ) ( ) ( ), } 1 2 D = x y ψ y ≤ x ≤ψ y c ≤ y ≤ d y x o a b D c d ( ) 1 y = ϕ x ( ) 2 y = ϕ x A B C E ( ) 2 x =ψ y ( ) 1 x =ψ y
江画工太猩院 00 v2)00 = dx y1(y) ax 2(v20), y)dy- Q(v,(), y)dy Q(x,y)dy-.2(x, y)dy E JCBE JCAE x=yily D re e(x, y)dy+p e(x, )dy v2(y) o(x, y)dy aP 同理可证 dxdy=pp(x, y)dx
江西理工大学理学院 dx x Q dxdy dy x Q y y d c D ∫∫ ∫ ∫ ∂∂ = ∂∂ ( ) ( ) 21 ψψ ∫ ∫ = − dc dc Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy ψ 2 ψ 1 ∫ ∫ = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy ∫ ∫ = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy ∫ = LQ(x, y)dy 同理可证 ∫∫ ∫ = ∂∂ − L D dxdy P x y dx yP ( , ) y x o d ( ) 2 x =ψ y D c C E ( ) 1 x =ψ y
江画工太猩院 两式相加得 d0 oP )dxdy=o Pdx+gdy ax ay L 证明(2) 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成如图, 将D分成三个既是X一型又是A Y-型的区域D,D2,D3 ar o, drdy 00OP、 a0 aP D1+D2+D3
江西理工大学理学院 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 证明(2) L L1 L2 L3 D D1 D2 D3 两式相加得 ∫∫ ∫ = + ∂∂ − ∂∂ L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) 将D分成三个既是X −型又是 Y −型的区域D1,D2,D3. ∫∫ ∫∫ + + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q
江画工太猩院 rr o0 aPud,.01 00 OP 80 OP )dxdy+ )dxdy Ox ay D1 ax ay D, Ox Oy 纟Px+c+,Pa+Q+P+y Pax+ ody (L1L2,L2对D来说为正方向)
江西理工大学理学院 ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∂∂ − ∂∂ + ∂∂ − ∂∂ + ∂∂ − ∂∂ 1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q ∫ ∫ ∫ = + + + + + L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy ∫ = + L Pdx Qdy D1 D2 D3 L L1 L2 L3 ( , ) L1,L2 L3对D来说为正方向
江画工太猩院 证明(3) 若区域不止由一条闭曲9 线所围成添加直线段AB,CE 则D的边界曲线由ABL2BA C AFC CE, L,ECC构成 00OP、 A 由(2)知 )dxdy +++| +k] (Pdx+ody aBLy JBAJAFCJCE
江西理工大学理学院 G D L3 L2 F C E L1 A B 证明(3) 若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则D的边界曲线由AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3, EC 及 CGA 构成. 由(2)知 ∫∫ ∂∂ − ∂∂ D dxdy yP xQ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = + + + + AB L2 BA AFC CE { ∫ ∫ ∫ + + + ⋅ + L EC CGA } (Pdx Qdy) 3
