江画工太猩院 第四节 格林公式及其用二
江西理工大学理学院 第四节 格林公式及其应用二
江西理工大学理学院 、曲线积分与路径无关的定义 如果在区域G内有 y Pax Qdy L B G Pdx+ Qdy L 2 则称曲线积分Pdx+dy 在G内与路径无关,否则与路径有关 其中L、L2是在G内从A到B的任意两条曲线 定 在区域D内曲线积分Pdx+dy与路径无关的充要 L 理条件是在区域D内沿任意一封闭曲线的积分为零
江西理工大学理学院 G y o x ∫ + L1 Pdx Qdy 则称曲线积分∫ + L Pdx Qdy 在G内与路径无关, 一、曲线积分与路径无关的定义 ∫ + L2 Pdx Qdy L1 L2 ⋅B A⋅ 如果在区域G内有 = 否则与路径有关. 其中L1、L2是在G内从A到B的任意两条曲线 定 理 条件是在区域 内沿任意一封闭曲线的 积分为零 . 在区域 内曲线积分 与路径无关的充要 D D Pdx Qdy L∫ +
江画工太猩院 曲线积分与路径无关的条件 定理2设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分P+Q在G内与路径无关 (或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充 aP 00 要条件是 在G内恒成立
江西理工大学理学院 二、曲线积分与路径无关的条件 设开区域 G是一个单连通域, 函数 P ( x , y), Q ( x , y ) 在 G 内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 ∫ + L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关 （或沿 G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充 要条件是 x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ 在 G内恒成立. 定理2
证明:充分性: 江画工太猩院 在G内任取一条有向光滑闭曲线L,由于G是 单连通的,所以闭曲线L所围成的区域D全部在G内, 「Pk+②=士∫ 00 OP )dxdy ax dy 00 oP 又 在G上恒成立,P+h=0 即曲线积分PQ在G内与路径无关 必要性: 已知曲线积分Px+⑩小在G内与路径无关, 则该积分在G内沿任意闭曲线的曲线积分为零
江西理工大学理学院 证明：充分性： 在G内任取一条有向光滑闭 曲线L,由于G是 单连通的,所以闭曲线 L所围成的区域 D全部在G内, ∫ + L Q Pdx Qdy dxdy yP xQ D ( ) ∂∂ − ∂∂ = ±∫∫ 又 在G上恒成立 , y P x Q ∂ ∂ = ∂ ∂ ∴ + = 0 ∫L Pdx Qdy 即曲线积分 Pdx Qdy在G内与路径无关. L∫ + 必要性： 已知曲线积分 Pdx Qdy在G内与路径无关 , L∫ + 则该积分在G内沿任意闭曲线的曲线积分为零
用反证法, 江画工太猩院 d0 OP 设 在G内不恒成立,则在G内至少有一点M ax ay 使( 0QaP、 )Mn≠=0,不妨设 80 aP )=n>0. 由于,在G内连续,因此必可找到一个以M为圆心 ax ay 半径足够小的圆形域K,使得在K上恒有: 00 OP ≥,设L是K的正向边界曲线,o是K的面积, k Pdx+gdy 0Q_0Phv>o>0.矛盾! K x ay
江西理工大学理学院 用反证法， 0 G , G M y P x Q 设 在 内不恒成立 则在 内至少有一点 ∂∂ = ∂∂ ( )| 0, 0 ≠ ∂∂ − ∂∂ M yP xQ 使 ( )| 0. 0 = > ∂∂ − ∂∂ M η yP xQ 不妨设 由于 , 在G内连续,因此必可找到一个以 M0为圆心 y P x Q ∂ ∂ ∂ ∂ 半径足够小的圆形域 K,使得在K上恒有 : , 2 η≥ ∂ ∂ − ∂ ∂ y P x Q 设L是K的正向边界曲线,σ是K的面积, ∴ + = ∫L Pdx Qdy dxdy yP xQ K ( ) ∂∂ − ∂∂ ∫∫ σ η2 ≥ > 0. 矛盾！
有关定理的说明: 江画工太猩院 (1)开区域G是一个单连通域 (2)函数P(x,y,Q(x,y)在G内具有一阶连 续偏导数 两条件缺一不可 1B(24) (2,4 (e+x)dx+(xe'-y)dy 0,0) A A JAB
江西理工大学理学院 (1) 开区域G是一个单连通域. (2) 函数P(x, y), Q(x, y)在G内具有一阶连 续偏导数. 两条件缺一不可 有关定理的说明： x y o (2,4) A B ∫ ∫ = + oA AB ∫ + + − (2,4) (0,0) 2 (e x)dx (xe y )dy y y
江画工太猩院 三、二元函数的全微分求积 定理3设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导 数,则P(x,y)xQ(x,y小在G内为某一 函数u(x,y)全微分的充要条件是等式 ap 00 oy ax 在G内恒成立
江西理工大学理学院 三、二元函数的全微分求积 设开区域 G是一个单连通域, 函数 P ( x , y), Q ( x , y ) 在 G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy 在 G内为某一 函数 u ( x , y )的全微分的充要条件是等式 x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ 在 G内恒成立. 定理3
江画工太猩院 证明: 必要性:假设存在着某一函数u(x,y),使得 du=P(x, y)dx+e(x, y)dy, 则必有a ou a r plr, v),=e(x, y) y 从而 Ou oP Ou 00 axby ay Odx 因为P、Q具有一阶连续偏导数, 则u(x,y)的二阶混合偏导数连续且相等, 故有: aP 00 ay ax
江西理工大学理学院 证明： 必要性：假设存在着某一函数u(x, y),使得 du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, ( , ), Q(x, y) y u P x y x u = ∂ ∂ = ∂ ∂ 则必有 x Q y x u y P x y u ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 2 从而 , 因为P、Q具有一阶连续偏导数， 则u(x, y)的二阶混合偏导数连续且相等, : . x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ 故有
充分性:如果= 观江西理工大兽噜院 在G内恒成立 ax 则「P+Q小在G内与路径无关 (x,y) 设u(x,y) Pax +ody (X 0 ou= lim u(x+ Ax, 3-u(x, y) ar△r->0 △ B(X, I B(x+Δ,y) u(x+ ax y)-u(x, y r(x+4r, y) r(x, y) J(o, yo) (x,y0) (x y) r (x+4r, y) r (x, y) (x+4x, y,) G Jo, yo)J(x, 050 X e x+x Pax +ody BB P(x, y)dx x
江西理工大学理学院 充分性： G ， x Q y P 如果 在 内恒成立 ∂ ∂ = ∂ ∂ 则 Pdx Qdy 在 G内与路径无关 L∫ + ∫ = + ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) x y x y 设 u x y Pdx Qdy x y o B ( x , y ) A ( , ) 0 0 x y . . B′( x + ∆x , y ) G x u x x y u x y x u x ∆ + ∆ − = ∂ ∂ ∆ → ( , ) ( , ) lim0 u ( x + ∆x , y ) − u ( x , y ) ∫ ∫ + = − ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 x x y x y x y x y ∆ ∫ ∫ + = + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 x y x y x x y x y ∆ ∫ − ( , ) ( , ) 0 0 x y x y ∫ + = ( , ) ( , ) x x y x y ∆ ∫ ′ = + B B Pdx Qdy . ∫ + = x x x P x y dx ∆ ( , )
n(x+△r,y)-u(x,y)=P(x)4(良画x水 =P(x+Ax,y)△x0≤≤1(因为Px,y连续) au lim u(x+ Ar,y-u(x, y)lim nP(x+△,y)Ax ar△x→>0△x △→0 =imP(x+6△x,)(因为P(x,y)连续) =P(x, y). 同理可证:=Q(x,y) 因为P(x,y)Q(x,y)连续,所以u(x,y)的一阶偏导连续 则函数u(x,y)可微, 且:d=P(x,y)+Q(x,y)
江西理工大学理学院 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∫ +∆ = x x x P(x, y)dx = P(x +θ∆x, y)⋅∆x 0 ≤θ ≤ 1 x u x x y u x y x u x ∆ + ∆ − = ∂ ∂ ∆ → ( , ) ( , ) lim 0 x P x x y x x ∆ + ∆ ⋅∆ = ∆ → ( , ) lim 0 θ lim ( , ) 0 P x x y x = + ∆ ∆ → θ = P(x, y). (因为P(x, y)连续) (因为P(x, y)连续) : Q(x, y). y u = ∂ ∂ 同理可证 因为P(x, y)、Q (x, y)连续,所以 u( x, y)的一阶偏导连续 则函数u(x, y)可微， 且 : du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
