江画工太猩院 第六节 对坐标的曲面积分
江西理工大学理学院 第六节 对坐标的曲面积分
江画工太猩院 基本概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧
江西理工大学理学院 一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧
江画工太猩院 曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面 典型双侧曲面 15051 2 0.5 2
江西理工大学理学院 n r 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典 型 双 侧 曲 面
江画工太猩院 典型单侧曲面:莫比乌斯带
江西理工大学理学院 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 播放播放
江画工太猩院 曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题:在有向曲面∑上取一小块 曲面△S,△S在xoy面上的投影(△S)n为 (△)ly当c0sy>0时 (△S)n={-(△a)当cosy<0时 当c0sy=0时 其中(△a)表示投影区域的面积
江西理工大学理学院 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: , ∆S在xoy面 在有向曲面Σ上取一小块 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( ) ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = − ∆ ∆ = 当 时 当 时 当 时 γ σ γ σ γ xy xy S xy 其中( ) 表示投影区域的面积 . ∆σ xy 曲面 ∆S 上的投影 (∆S) xy为
江画工太猩院 二、概念的引入 实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量,有向平面区域A求单位 时间流过A的流体的质量①(假定密度为1). 流量 ①= Av cos n=Av.n=vA
江西理工大学理学院 二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v r,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 Φ(假定密度为 1). A v r 0 n r θ A A v n v A A v v v v v v = ⋅ = ⋅ Φ = 0 cos θ 流量
江画工太猩院 (2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v(x,, z =P(x, 3, s)i+e(, y, z)j+R(x, y, z k 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x, y, 2), 2(, 3, 4), R(x, 1, 2) 都在∑上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量Φ
江西理工大学理学院 (2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k r r r r( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R(x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量Φ. x y z o Σ
江画工太猩院 1.分割把曲面∑分成n小块△(△同时也代表 第i小块曲面的面积), 在As,上任取一点 7△S (5,7,5 (5,7,s) 则该点流速为v 法向量为n
江西理工大学理学院 x y z o Σ • ∆Si ( , , ) i i i ξ η ς i v r ni r 把曲面Σ分成n小块 i ∆s ( i ∆s 同时也代表 第i小块曲面的面积), 在 i ∆s 上任取一点 ( , , ) ξ i ηi ζ i , 1. 分割 则该点流速为 . i vr 法向量为 . ni r
江画工太猩院 1=v(5,,5) P(5,mn,5+Q(5,n,5)j+R(5,mn,), 该点处曲面∑的单位法向量 n.=coS a I +cOS SB. j cos r, k, 通过Δs:流向指定侧的流量的近似值为 14S;(i=1,2,…,n) 2求和通过∑流向指定侧的流量 ∑nn△S
江西理工大学理学院 该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j i k r r r r cos α cos β cos γ 0 = + + , 通过 i ∆ s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S ( i 1 , 2 , , n). i i i L r r ⋅ ∆ = ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i r r r r ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ = + + = 2. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 ∑= Φ ≈ ⋅ ∆ n i i n i Si v 1
江画工太猩院 ∑[P( 5i,715;c0sa,+ Q(5,n,)cos月 +R(5,n,5;)c0s△S ∑[P(5,m2)AS)2+Q(5,n,5)△S) +R(5,7,51)AS)l 3取极限λ→0取极限得到流量Φ的精确值 =lim∑P(5,m,1△S)+(5,n,)△S 元→0 +R(5;,15)AS)y
江西理工大学理学院 i i i i i i i i i n i i i i i R S P Q + ∆ = ∑ + = ( , , )cos ] [ ( , , )cos ( , , )cos 1 ξ η ζ γ ξ η ζ α ξ η ζ β ( , , )( ) ] [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 i i i i xy yz i i i i xz n i i i i i R S P S Q S + ∆ = ∑ ∆ + ∆ = ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ 3.取极限 λ → 0 取极限得到流量Φ的精确值. ( , , )( ) ] lim [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 0 i i i i xy yz i i i i xz n i i i i i R S P S Q S + ∆ Φ = ∑ ∆ + ∆ = → ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ λ