江画工太猩院 第五节 二阶常系 非齐次线性方程
江西理工大学理学院 第五节 二阶常系数 非齐次线性方程
工 王一、f(x)=e"m(x)型 工 y"+py+y=f(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+py+qy=0 通解结构y=Y+y*, 常见类型P(x),P(x)e, P.()e "cos,(x)e sin Bx, 难点:如何求特解?方法:待定系数法 工 上页下页返回
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y′′ + py′ + qy = 0, 通解结构 y = Y + y*, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x eλ P (x)e cos x, x m β λ P (x)e sin x, x m β λ 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. f (x) e P (x) m λx 一、 型 =
设非齐方程特解为卩=Q(x)e“代入原方程 "(x)+(2x+p)g(x)+(x2+p+9Q(x)=Dn(x) (1)若不是特征方程的根,x+p元+q≠0, 可设Q(x)=Q(x),p=Qn(x)ex; (2)若是特征方程的单根, +p+q=0,2+p≠0, 可设Q(x)=xQn(x),y=xQn(x)l"; 上页
设非齐方程特解为 x y Q x eλ = ( ) 代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q′′ x + λ + p Q′ x + λ + pλ + q Q x = Pm x (1) 若λ不是特征方程的根， 0, 2 λ + pλ + q ≠ Q(x) Q (x), 可设 = m (2) 若λ是特征方程的单根， 0, 2 λ + pλ + q = 2λ + p ≠ 0, Q(x) xQ (x), 可设 = m * ( ) ; x m y Q x eλ = * ( ) ; x m y xQ x eλ =
(3若是特征方程的重根, x+p九+q=0,2+p=0, 可设Q(x)=xQn(x),p=x2Qn(x)l 综上讨论 0不是根 设p=xte'Qn(x),k={1是单根, 2是重根 注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数) 上页
( 3 ) 若 λ是特征方程的重根， 0 , 2 λ + p λ + q = 2 λ + p = 0 , ( ) ( ), 2 可设 Q x = x Q m x 综上讨论 y x e Q ( x ) , m k λx 设 = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λ λ λ = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 注意 上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性 微分方程（ k是重根次数） . * ( ) . 2 x y x Q m x e λ =
王特别地y+m+=Ac e,不是特征方程的根 n+ph+q A xex是特征方程的单根 2+p Zx e λ是特征方程的重根 上页
特别地 x y py qy Ae λ ′′ + ′ + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根 λ λ λ λ λ λ λ λ λ x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2
例求方程y-3y+y=2的通解 王解特征方程7-3+2=0 特征根7=1,r2=2, 对应齐次方程通解Y=C1e+C2t2x, =2是单根,设y=x(Ax+B)e, 代入方程,得2Ax+B+2A=r∴A= B=-1 于是p=x(x-1)e2x 原方程通解为y=C1p+C2c2+x(x-1l2x 上页
3 2 . 求方程 y′′ − y′ + y = xe 2 x 的通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 3 2 0 , 2 r − r + = 特征根 r1 = 1 ， r2 = 2 ， , 2 1 2 x x Y = C e + C e Q λ = 2 是单根， ( ) , 2 x 设 y = x Ax + B e 代入方程, 得 2Ax + B + 2 A = x , 1 2 1 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = ∴ B A x y x x e 2 1 ) 2 1 于是 = ( − 原方程通解为 1 ) . 2 1 ( 2 2 1 2 x x x y = C e + C e + x x − e 例1
二、f(x)=cP(x) cos ox+P(x) sIna]型 f(x)=e"Pc0sax+ P, sin ax利用欧拉公式 e te lax e e =e +p 2i n)(+i0)x +-)e PP (1-i)x 22 22i P(x)e+)x+P(x)e( -i0)x iy"+py+ay=P(x)e tio)x, h,=xomel +i0)x 上页
二、f (x) = eλx [Pl(x)cosωx + Pn (x)sinωx]型 f (x) e [P cos x P sin x] l n x ω ω λ = + ] 2 2 [ i e e P e e e P i x i x n i x i x l x ω ω ω ω λ − − − + + = l n i x l n i x e i P P e i P P ( ) ( ) ) 2 2 ) ( 2 2 ( λ+ ω λ− ω = + + − ( ) ( ) , ( i ) x ( i ) x P x e P x e λ+ ω λ− ω = + ( ) , ( i ) x y py qy P x e λ + ω 设 ′′ + ′ + = , ( ) 1 i x m k y x Q e λ + ω = 利用欧拉公式
上设y+my+9=Px)m,2=rn4), ∴= thieme+Qm xe[rm(x cos ax+ r(r)sin axl, 王其Ck是n次多项式,m二mn h≤」0±1不是根 λ±i0是单根 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程
( ) , ( i ) x y py qy P x e λ − ω 设 ′′ + ′ + = , ( ) 2 i x m k y x Q e λ− ω = [ ] i x m i x m k x y x e Q e Q e λ ω − ω ∴ = + [ ( )cos ( )sin ], (1) (2) x e Rm x x Rm x x k x ω ω λ = + 其中 Rm(1)(x),Rm(2)(x)是m次多项式，m = max{l,n} , 1 0 ⎩⎨⎧ ±± = 是单根 不是根 λ ω λ ωii k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程
例2求方程y”+y=4sinx的通解 解对应齐方通解Y=C1cosx+C2sinx, 作辅助方程y"+y=4e =i是单根,故y=Axl 上代入上式2Ai=4,:A=-2, :y=-2ixe=2xsin x-(2x cos x)i, 所求非齐方程特解为y=-2xc0sx,(取虚部) 原方程通解为y=C0sx+C2sinx-2x0sx 上页
求方程 y′′ + y = 4sin x的通解. 解 对应齐方通解 cos sin , 1 2 Y = C x + C x 作辅助方程 4 , ix y′′ + y = e Qλ = i 是单根, , * ix 故 y = Axe 代入上式 2Ai = 4, ∴ A = −2i, 2 2 sin (2 cos ) , * y ixe x x x x i ix ∴ = − = − 所求非齐方程特解为 y = −2x cos x, 原方程通解为 cos sin 2 cos . 1 2 y = C x + C x − x x （取虚部） 例2
例3求方程p+=xc2x的通解 出解对应齐方通解y=Cc0sx+C2smx, 作辅助方程y"+y=xe, λ=2i不是特征方程的根, 设j=(Ax+B)e2,代入辅助方程 4Ai-3B=0 A=--,B=--i -3A=1 y=6x-rie fix 39 上页
求方程 y′′ + y = x cos2x的通解. 解 对应齐方通解 cos sin , 1 2 Y = C x + C x 作辅助方程 , 2ix y′′ + y = xe Qλ = 2i 不是特征方程的根, ( ) , * 2ix 设 y = Ax + B e 代入辅助方程 ⎩⎨⎧− =− = 3 1 4 3 0 AAi B , 94 31 ∴ A = − ，B = − i ) , 94 31 ( * 2ix ∴ y = − x − i e 例3