江画工太猩院 第2节 函数的求导法则
江西理工大学理学院 第 2 节 函数的求导法则
江画工太猩院 和、差、积、商的求导法则 定理如果函数m(x),v(x)在点处可导,则它 们的和、差、积、商(分母不为零在点x处也 可导,并且 (1)[(x)±v(x)=u(x)土v(x) (2)|u(x)v(x)"=l'(x)y(x)+(x)y(x) (3) u(x) u(xv(x-u(xv(r) (v(x)≠0)
江西理工大学理学院 一、和、差、积、商的求导法则 定理 可导 并且 们的和、差、积、商 分母不为零 在点 处也 如果函数 在点 处可导 则它 , ( ) ( ), ( ) , x u x v x x ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( 3 ) [ ( 2 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ); ( 1 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ); 2 ≠ ′ − ′ ′ = ⋅ ′ = ′ + ′ ± ′ = ′ ± ′ v x v x u x v x u x v x v x u x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x
江画猩工式塑辱院 证(1)略. 证(2)设∫(x)=u(x)(x) cla f(x+h-f(r) x=lim- h→0 lim (x+h)v(x+ h)-u().v(r) b-→0 im u(x+h)(x+h)=u(x) v(x+h) h h-0 +u(x) v(x+h)-u(x)(xl
江西理工大学理学院 证(2) 设 f (x) = u(x)v(x), h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim0 + − ′ = → ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 lim 0 u x v x h u x v x u x h v x h u x v x h h h + ⋅ + − ⋅ = + ⋅ + − ⋅ + → h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + ⋅ + − ⋅ = → 证(1) 略
江画工太猩院 limr u(r+h)-u(x v(x+h) h vlx+h x +(x). lim u(rt h -u(x limb(x+ h h-0 h-0 +以(x)lim v(x+h)-v(r h->0 h u(x)·v(x)+(x)v(x)
江西理工大学理学院 ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim[ 0 h v x h v x u x v x h h u x h u x h + − + ⋅ ⋅ + + − = → = u ′(x)⋅ v(x) + u(x)⋅ v′(x) h v x h v x u x v x h h u x h u x h h h ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 + − + ⋅ ⋅ + + − = → → →
江画工太猩院 证(3)设(x)=“x,(x)≠0 ∫(x)=lim .∫(x+h)-f(x) h→0h u(x+h u(x) lim v(x+h)v(r) h→0 =lim m-th)v(r)-u(x]v(+h) h→>0 v(x+hv(r)h
江西理工大学理学院 证(3) , ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) = v x ≠ v x u x 设 f x h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim0 + − ′ = → v x h v x h u x h v x u x v x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − + = → h v x u x v x h u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 − + + = →
江画工太猩院 =lim lu(x+h)-u(x)lv(x)-u(x)v(x+h-v(x) h->0 (x+hv(r h (x+h)-u(x) (x)-u(x) v(x+h-v(x) : lim h->0 v(x+hv(x) u(xv(x)-u(rv(r) v(x)I f(x)在x处可导
江西理工大学理学院 v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h + + − ⋅ − ⋅ + − = → 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) v x u′ x v x − u x v′ x = ∴ f (x)在x处可导
江画工太猩院 推论 ()∑/(x)=∑f(x; =1 i=1 (2)|(x)=Cf(x) (3)Ⅲ(x=f(x)(x)…fn(x) +…+f1(x)1(x)…fm(x) nn ∑∏f(x)(x i=1k=1 k≠i
江西理工大学理学院 推论 (1) [ ( )] ( ); 1 1 ∑ ∑ = = ′ = ′ n i i n i i f x f x (2) [Cf (x)]′ = Cf ′(x); ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) (3) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 = ∑ ∏ ′ + + ′ ′ ∏ ′ = = ≠ = = n i n k i k i k n n n i i f x f x f x f x f x f x f x f x f x L L L
江画工太猩院 例1求y=x3-2x2+inx的导数 解y'=3x2-4x+cosx 例2求y=sin2xlmx的导数 解∵y=2sinx·c0sx·lnx y=2cosx cosx In x+ 2 sin x. sin x). Inx +2sin x cosx 2cos 2xlnxt-sin 2x 式
江西理工大学理学院 例1 2 sin . 求 y = x3 − x2 + x 的导数 解 2 y′ = 3x − 4x 例2 求 y = sin2x ⋅ ln x 的导数 . 解 Q y = 2sin x ⋅ cos x ⋅ ln x y′ = 2cos x ⋅ cos x ⋅ ln x+ 2sin x ⋅(− sin x)⋅ ln x x x x 1 + 2sin ⋅ cos ⋅ + cos x. sin 2 . 1 2cos 2 ln x x = x x +
江画工太猩院 例3求y=tanx的导数 解y'=(anx)'=( sInx cos x sin r)cosx-sin r( x cosx+sin X =sec x cos X 即(t 2 tanr)=sec x 同理可得(cotx)y=-cs2x
江西理工大学理学院 例3 求 y = tan x 的导数 . 解 ) cos sin ′ = (tan )′ = ( ′ x x y x x x x x x 2 cos (sin )′ cos − sin (cos )′ = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = (tan ) sec . 2 即 x ′ = x (cot ) csc . 2 同理可得 x ′ = − x
江画工太猩院 例4求y=ecx的导数 解y’=(ecx)=( cos x Icos sIn式 =secx tanx cos式cos 同理可得(cscx)y=- cscw cotx 例5求y=+3 的导数 解y=(+3y(x2-)-(x2+3)(x2-7y x 20x (x2-7)2
江西理工大学理学院 例4 求 y = sec x 的导数 . 解 ) cos1 ′ = (sec )′ = ( ′ x y x x x 2 cos − (cos )′ = = sec x tan x. x x 2 cos sin = 同理可得 (csc x)′ = − csc x cot x. 例5 . 73 22 求 的导数 −+ = xx y 解 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 7) 20 ( 7) ( 3) ( 7) ( 3) ( 7) − = − − + ′ ⋅ − − + ⋅ − ′ ′ = x x x x x x x y
