江画工太猩院 第3节 函数极限 函数极限四则运算
江西理工大学理学院 第 3 节 函数极限 函数极限四则运算
江画工太猩院 、自变量趋向有限值时函数的极限 问题函数y=f(x)在x→x0的过程中对应 函数值∫(x)无限趋近于确定值A. f(x)-4<表示∫(x)-A任意小; 0<x-xn<6表示x→x的过程 -6 xn+δx 点x的去心δ邻域,δ体现x接近x程度
江西理工大学理学院 一、自变量趋向有限值时函数的极限 问题:函数 y = f ( x ) 在 x → x 0的过程中 ,对应 函数值 f ( x )无限趋近于确定值 A. f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小 ; 0 . < x − x 0 < δ 表示 x → x 0的过程 x 0 − δ x 0 + δ x x 0 δ δ , 点 x 0的去心 δ邻域 . δ体现 x接近 x 0程度
江画工太猩院 1、定义: 定义1如果对于任意给定的正数E(不论它多 么小),总存在正数δ,使得对于适合不等式 0038>0使当0<x-x<。时, 恒有f(x)-A<
江西理工大学理学院 定义 1 如果对于任意给定的正数 ε(不论它多 么小),总存在正数 δ,使得对于适合不等式 0 ∃ δ > < − < δ f x A x x 恒有 使当 时 1、定义：
江画工太猩院 注意:1函数极限与f(x)在点x是否有定义无关; 2δ与任意给定的正数8有关 ● 2、几何解释: 当x在x1的去心δ邻 y=f(x) Ate 域时,函数y=f(x)A 图形完全落在以直A-g 线y=A为中心线, 6 宽为2的带形区域内.0x-05x+0x 显然找到一个δ后,δ6越小越好
江西理工大学理学院 2、几何解释: y = f (x) A− ε A+ ε A x0 −δ x0 x0 +δ δ δ x y 2 . o , , ( ) 0 宽为 的带形区域内 线 为中心线 图形完全落在以直 域时 函数 当 在 的去心 邻 ε = = δ y A y f x x x 注意：1. ( ) ; 函数极限与 f x 在点x0是否有定义无关 2.δ与任意给定的正数 ε有关. 显然,找到一个δ后,δ越小越好
江画工太猩院 例证明imC=C,C为常数) x→>x0 证任给E>0,任取δ>0,当00,取8=8 当0<x-x0<8=8:时, f(4=kx-x1<6成立,mx
江西理工大学理学院 例1 lim , ( ). 0 证明 C C C为常数 x x = → 证 f (x) − A = C − C 0, = 0 lim . 0 C C x x ∴ = → 任取δ > 0, 0 , 当 0, 取δ = ε, 0 , 当 < x − x0 < δ = ε时 0 f (x) − A = x − x < ε成立, lim . 0 0 x x x x ∴ = →
江画工太猩院 例3证明lim 2 x→1 证函数在点1处没有定义. (x)-A=x2-1 2=x-1任给s>0 x-1 要使∫(x)-A<8,只要取8=8, 当0<x-x<6时,就有-1-25<6 x-1 ∴ lim f-1 x→1x-1
江西理工大学理学院 例3 2. 11 lim 2 1 = −− → xx x 证明 证 2 1 1 ( ) 2 − − − − = x x Q f x A 任给ε > 0, 只要取δ = ε, 0 , 当 < x − x0 < δ时 函数在点x=1处没有定义. = x − 1 要使 f (x) − A < ε, 2 , 11 2 − < ε −− xx 就有 2. 1 1 lim 2 1 = − − ∴ → x x x
江画工太猩院 例4证明:当x>0时,imx=x, x→x 证:(-4=1x-x1=x=x=x x+√xa 0 任给ε>0,要使f(x)-A4<8, 只要x-x<√x且不取负值取8=mix,x1, 当0<x-xn<6时,就有x-√x<E
江西理工大学理学院 例4 lim . 0 0 x x x x ∴ = → 证 0 Q f (x) − A = x − x 任给ε > 0, min{ , }, 0 0 取δ = x x ε 0 , 当 = → 证明 当 时
江画工太猩院 3、单侧极限: 例如, 1-,I0和x<0两种情况分别讨论 x从左侧无限趋近x,记作x→x1-0 x从右侧无限趋近x,记作x→x+0
江西理工大学理学院 3、单侧极限: 例如, lim ( ) 1. 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2 = ⎩⎨⎧ + ≥ − 0和x < 0两种情况分别讨论 , x从左侧无限趋近x0 0; 记作x → x0 − , x从右侧无限趋近x0 0; 记作x → x0 + y o x 1 y = 1 − x 1 2 y = x +
江画工太猩院 左极限V8>038>0,使当x1-8036>0使当x<x<x+6时, 恒有f(x)-A<c 记作imf(x)=A或∫(xn+0)=A x→xa+0 (x→x 注意:{x0<x-x<8} {x0<x-xn<8}∪{x-8<x-x<0
江西理工大学理学院 左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − ∃δ > − δ ∃δ > < < + δ f x A x x x 恒有 使当 时 { 0 } { 0} :{ 0 } 0 0 0 = < − < δ − δ < − < < − < δ x x x x x x x x x U 注意 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = − = → − → − 记作 或 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = + = → + → + 记作 或
江画工太猩院 定理:lim∫(x)=A台→f(xn-0)=f(xo+0)=A rIo 例5验证lim不存在 x→)0y 证 lim x→-0xx→-0x im(-1)=-1 lim = lim =- lim 1=1 x→+0xx+0x→+0 左右极限存在但不相等,;imf(x)不存在
江西理工大学理学院 : lim ( ) ( 0) ( 0) . 0 0 0 f x A f x f x A x x = ⇔ − = + = → 定理 lim . 0 验证 不存在 x x x→ y x 1 − 1 o x x x x x x − = →−0 →−0 lim lim 左右极限存在但不相等, lim ( ) . 0 f x 不存在 x→ ∴ 例5 证 lim ( 1) 1 0 = − = − x→− x x x x x 0 x 0 lim lim →+ + = lim 1 1 0 = = x→+