江画工太猩院 第二节 数列极限 数列极限四则运算
江西理工大学理学院 第二节 数列极限 数列极限四则运算
江西理工大学理学院 、概念的引入 1、割圆术: “割之弥细,所 0.5 失弥少,割之又 割,以至于不可 0.5 0.5 割,则与圆周合 -0.5 体而无所失矣” 刘徽 播放
江西理工大学理学院 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 播放播放
江画工太猩院 正六边形的面积A1 正十二边形的面积A2 正6×2形的面积An A1,A2,A3,…,An…→S
江西理工大学理学院 R 正六边形的面积 A 1 正十二边形的面积 A 2 L L L L 正 形的面积 1 6 2 − × n A n A 1 , A 2 , A 3 , L , A n , L S
江画工太猩院 2、截丈问题 “一尺之棰,日截其半,万世不竭” 第一天截下的杖长为"2 第二天截下的杖长总和为X2=+ 第n天截下的杖长总和为X,=+,+…+ 222n X,=1-—1 2
江西理工大学理学院 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ; 2 1 第一天截下的杖长为 X1 = ; 2 1 2 1 2 2 第二天截下的杖长总和为 X = + LL LL ; 2 1 2 1 2 1 Xn 2 n 第n天截下的杖长总和为 = + +L+ Xn n 21 = 1 − 1
江画工太猩院 二、数列的定义 定义:按自然数1,2,3,…编号依次排列的一列数 132,9n 称为无穷数列简称数列其中的每个数称为数 列的项x称为通项(一般项数列(1)记为{xn} 例如2,48,…,2",;{2"} 1111 248,”2n,2n
江西理工大学理学院 二、数列的定义 定义:按自然数1,2,3,L编号依次排列的一列数 x1 , x2 ,L, xn ,L (1) 称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数 列的项, n x 称为通项(一般项).数列(1)记为{ }n x . 例如 2,4,8,L,2 ,L; n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1 L n L {2 }n } 21 { n
江画工太猩院 1,-1,…,(-1),;(-1)n} 14n+(-1) n+(-1) 23 3+√3 3+、3+…+、3 注意:1数列对应着数轴上一个点列可看作 动点在数轴上依次取x1,x2,…,xn,… x4 x 2数列是整标函数xn=f(m)
江西理工大学理学院 注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 , , , , . x1 x2 L xn L x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 x f (n). n = 1, 1,1, ,( 1) , ; − L − n+1 L {( 1) } −1 − n , ; ( 1) , , 34, 21 2, 1 L L n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + − 3, 3 + 3,L, 3 + 3 + L+ 3 ,L
江画猩工式塑辱院 三、数列的极限 观察数列!+(1)}当n→∞时的变化趋势 n 0.75 0.25
江西理工大学理学院 } . ( 1) {1 1 观察数列 当 → ∞ 时的变化趋势 − + − n n n 三、数列的极限 播放播放
江画工太猩院 问题:当n无限增大时,x,是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察 (-1) 当n无限增大时,x,=1+无限接近于 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它 1=(-1)
江西理工大学理学院 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? n xn 1. ( 1) , 1 1 当 无限增大时 无限接近于 n n x n n − − = + 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. Q xn − 1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = − 通过上面演示实验的观察:
江画工太猩院 给定m0由10要n>1时,有:-1m 给定,,只要n>100时,有xn-11000时,0育xn-10,只要n>N(=白时,有xn-1<E成立 8
江西理工大学理学院 , 100 1 给定 , 100 1 1 100时, , 1001 有 xn − 1 1000时, , 10000 1 , 有 xn − 1 10000时, , 1000 1 有 xn − 1 0, ]) , 1 只要 ( [ 时 ε n > N = 有 − 1 < ε成立. n x
江画工太猩院 定义如果对于任意给定的正数(不论它多么 小),总存在正数N,使得对于n>N时的一切xn 不等式xn-a<8都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列xn收敛于a,记为 imxn=a,或xn→a(n→0) 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意1不等式xn-a<E刻划了x与的无限接近; 2N与任意给定的正数ε有关
江西理工大学理学院 定义 如果对于任意给定的正数ε (不论它多么 小),总存在正数 N ,使得对于n > N 时的一切 x n , 不等式 x − a < ε n 都成立,那末就称常数a 是数列 x n的极限,或者称数列 x n收敛于a ,记为 lim x a, n n = →∞ 或 x → a (n → ∞). n 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意：1.不等式 x a 刻划了x 与a的无限接近; n n − < ε 2.N与任意给定的正数 ε有关