江画工太猩院 第四节 幂级嶽的概念 及其收敛区间
江西理工大学理学院 第四节 幂级数的概念 及其收敛区间
江画工太猩院 函数项级数的一般概念 1.定义: 设l1(x),l2(x),…,n(x),…是定义在I∈R上的 函数则∑n1(x)=4(x)+2(x)+…+1(x)+ n-=1 称为定义在区间上的(函数项)无穷级数 例如级数∑x"=1+x+x2+…
江西理工大学理学院 一、函数项级数的一般概念 1.定义: 设 u 1 ( x), u 2 ( x), L , u n ( x), L是定义在 I ⊆ R上的 函数,则 ∑ = + + L + + L ∞ = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x u x n n n 称为定义在区间 I上的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0 ∑ = + + + L ∞ = x x x n 例如级数 n
江画工太猩院 2收敛点与收敛域: 如果x∈J数项级数∑u1(x)收敛 n-=1 则称x为级数∑1(x)的收敛点否则称为发散点 函数项级数∑n(x)的所有收敛点的全体称为收鲛域, 所有发散点的全体称为发散域
江西理工大学理学院 2.收敛点与收敛域: 如果 x ∈ I 0 ,数项级数 ∑ ∞ = 1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称 x 0为级数 ( ) 1 u x n ∑ n ∞ = 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n ∑ n ∞ = 的所有收敛点的全体称为收敛域
江画工太猩院 3.和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x) 称s(x)为函数项级数的和函数 s(x)=l1(x)+l2(x)+…+un(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和Sn(x, lim s(x)=s(x) n→00 余项n(x)=S(x)-Sn(x) imr(x)=0(x在收敛域上) n1→0 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上 是数项级数的收敛问题
江西理工大学理学院 lim s (x) s(x) n n = →∞ 函数项级数的部分和 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) →∞ r x n n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. 3.和函数: s(x) = u1 (x) + u2 (x) +L+ un (x) +L 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. (定义域是?) s (x), n
江画工太猩院 例1求级数∑ (-1),1 nn1)的收敛域 解由达朗贝尔判别法 n+1 un(x)n+11+x'1+ (n→∞) 当+x减或x<-时,原级数绝对收敛
江西理工大学理学院 例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 + − ∑∞= 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + ⋅ + = 1 1 1 ( ) 1 1 → ∞ + → n x 1, 1 1 (1) 0或x 1
江画工太猩院 (2)当.1 4、>1,→1+x<, 即-2<x<0时,原级数发散 (3)当+x=1,→x=0或x=-2 当x=0时,级数∑收敛; 当x=-2时,级数∑发散; m: 故级数的收敛域为(-0,2)∪[0+∞)
江西理工大学理学院 1, 1 1 (2) > + x 当 ⇒ 1+ x < 1, 即− 2 < x < 0时, 原级数发散. 当 x = 0时, ∑ ∞ = − 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x = −2时, ∑ ∞ =1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为 (−∞,−2)∪[0,+∞). (3) 当|1+ x |= 1, ⇒ x = 0或x = −2
江画工太猩院 二、幂级数及其收敛性 1定义:形如∑a(x-x)的级数称为幂级数 当xn=0时,∑a1x",其中a,为幂级数系数 n=0 2.收敛性: 例如级数∑x2=1+x+x2+… 当x<时,收敛;当x≥时,发散; 收敛域(-1);发散域(-∞,-1J1,+0);
江西理工大学理学院 二、幂级数及其收敛性 1.定义: 形如 n n n a ( x x ) 0 ∑ 0 ∞ = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n x ∑ a n x ∞ = 当 = 时 其中 n a 为幂级数系数 . 2.收敛性: 1 , 2 0 ∑ = + + + L ∞ = x x x n 例如级数 n 当 x < 1 时 ,收敛 ; 当 x ≥ 1 时 , 发散 ; 收敛域 ( − 1 , 1); 发散域 ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞);
江画工太猩院 定理1(Abe|定理) 如果级数∑ax“在x=x1(xn≠O处收敛则 n=0 它在满足不等式xxo的一切x处发散 证明():∑anx"收敛, limax =0. →0 n-=0
江西理工大学理学院 定理 1 (Abel 定理) 如果级数 ∑ ∞ n = 0 n n a x 在 ( 0 ) x = x 0 x 0 ≠ 处收敛,则 它在满足不等式 x x 0 的一切 x处发散. 证明 lim 0 , ∴ 0 = → ∞ n n n ( 1 ) , a x 0 ∑ 0 收敛 ∞ n = n n Q a x
江画猩工式塑辱院 M,使得xsM( n n n ax=a =anxn.≤M n n-0 n n 0 当<时,等比级数∑M收敛 n=00 ∑ax"收敛,即级数∑a1x收敛
江西理工大学理学院 ( 0,1,2, ) a x0 ≤ M n = L n 使得 n ∃ M , n n n n n n x x a x a x 0 0 = ⋅ n n n x x a x 0 0 = ⋅ n x x M 0 ≤ 1 , 0 当 < 时 x x Q , 0 0 等比级数 收敛 n n x x ∑ M∞ = , 0 ∑ 收敛 ∞ = ∴ n n an x ; 0 即级数∑ 收敛 ∞ n= n an x
江画工太猩院 (2)假设当x=x时发散, 而有一点x适合x1>x0使级数收敛, 由()结论则级数当x=x时应收敛, 这与所设矛盾. 几何说明 收敛区域 x 发散区域-R0R发散区域
江西理工大学理学院 (2) , 假设当x = x0时发散 而有一点x1适合 1 0 x > x 使级数收敛, 则级数当x = x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域