江画工太猩院 第六节 重积分的应用
江西理工大学理学院 第六节 重积分的应用
江西理工大学理学院 一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相 应地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并 且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域do 时,相应地部分量可近似地表示为f(x,y)do的 形式,其中(x,y)在do内这个f(x,y)do称为 所求量U的元素,记为dU,所求量的积分表达式 为 =f(x,)do D
江西理工大学理学院 一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. dσ dσ f (x, y)dσ (x, y) f (x, y)dσ 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相 应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并 且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的 形式，其中 在 内．这个 称为 所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式 为 ∫∫ = D U f (x, y)dσ dU
江画工太猩院 二、曲面的面积 实例一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 卫星 内,且可近似认为是圆轨道.通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同,即人们看到它在 天空不动.若地球半径取为R 问卫星距地面的高度h应为多少? 通讯卫星的覆盖面积是多大?
江西理工大学理学院 实例 一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 内，且可近似认为是圆轨道．通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同，即人们看到它在 天空不动．若地球半径取为R， 问卫星距地面的高度h应为多少？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？ 二、曲面的面积 卫星 h o x z
江画工太猩院 1.设曲面的方程为:z=f(x,y) 在xOy面上的投影区域为D, 如图,设小区域dG∈D, M 点(x,y)∈do, ∑为S上过M(x,y,f(x,y) y u,y) do 的切平面 以do边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为ds;截切平面∑为lA, 则有dA≈ds
江西理工大学理学院 １．设曲面的方程为： z = f ( x , y ) 在 xoy 面上的投影区域为 D , 设小区域 dσ ∈ D , 点 ( x , y ) ∈ dσ , . ( , , ( , )) 的切平面 Σ 为 S 上过 M x y f x y dA ds . s ds dA d z ≈ Σ σ 则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行 于 轴的小 如图， dσ ( x, y ) M dA x y z s Σ o γ
江画工太猩院 d为l在xop面上的投影,;l=dA·cosy, 1 dA=1+f2+f2d曲面S的面积元素 A=1+f2+d 曲面面积公式为:A +()2+()ddy D
江西理工大学理学院 Qdσ 为 dA 在 xoy 面上的投影, ∴ dσ = dA⋅ cosγ , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f Q γ = ∴dA = + f x + f y dσ 2 2 1 1 , 2 2 ∫∫ ∴ = + + D A f x f y dσ 曲面S的面积元素 曲面面积公式为：A dxdy Dxy y z x z ∫∫ ∂∂ ∂∂ = + +2 2 1 ( ) ( )
江画工太猩院 同理可得 2.设曲面的方程为:x=g(y) 曲面面积公式为:4=1+(+(小 3.设曲面的方程为:y=l(x,x) 曲面面积公式为:A-∫1+(+(止 D
江西理工大学理学院 ３．设曲面的方程为： y = h ( z , x ) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 A dzdx Dzx x y z y ∫∫ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ２．设曲面的方程为： x = g ( y , z ) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 A dydz Dyz z x y x ∫∫ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + 同理可得
江画工太猩院 例1求球面x2+y2+x=a2,含在圆柱体 x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=4A1 D;:x2+y2≤ax(x,y≥0) 0,5 曲面方程z=a2-x2-y2, 0.5 于是11+(a)+/s
江西理工大学理学院 例 1 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱体 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 由对称性知A = 4A1, D1： x + y ≤ ax 2 2 曲面方程 2 2 2 z = a − x − y , 于是 ( ) ( ) 2 2 1 yz xz ∂∂ ∂∂ + + , 2 2 2 a x y a − − = 解 (x, y ≥ 0)
江画工太猩院 面积A=4∫1+2+x2ad D =4∫ dxdy a=x a cos 4a del th Va -r 2
江西理工大学理学院 面积A z z dxdy D = ∫∫ + x + y 1 2 2 4 1 ∫∫ − − = 1 2 2 2 4 D dxdy a x y a ∫ ∫ θ − = θ π cos 0 0 2 2 1 4 2 a rdr a r a d 2 4 . 2 2 = πa − a
江画工太猩院 例2求由曲面x2+y2=z8=2a-x2+y2 (a>0)所围立体的表面积 +y=a 解解方程组 2a-x2+ y x+v=a 得两曲面的交线为圆周 Z=a 在xy平面上的投影域为Dn:x2+y2sn2, 由z=-(x2+y2)得 2x J
江西理工大学理学院 例 2 求由曲面x + y = az 2 2 和 2 2 z = 2a − x + y (a > 0)所围立体的表面积. 解 解方程组 , 2 2 2 2 2 ⎩⎨⎧ = − + + = z a x y x y az 得两曲面的交线为圆周 , 2 2 2 ⎩⎨⎧ =+ = z a x y a 在 平面上的投影域为 xoy : , 2 2 2 D x y a xy + ≤ 由 ( )得 1 2 2 x y a z = + , 2 a x zx = , 2 a y z y =
江画工太猩院 (2x2(2y) 1+ (a a2+4x2+4y2 由z=2-x2+y知、1+2+x2 故S= 力n+42+2d∫Zb d a2+4r2·rlr+、2ma 050a (62+55-1)
江西理工大学理学院 + + = 2 2 1 x y z z 2 2 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + a y a x 4 4 , 1 2 2 2 a x y a = + + 由 z = 2 a − x 2 + y 2 知 + + = 2 2 1 x y z z 2 , a x y dxdy a S Dxy ∫∫ = + + 2 2 2 4 4 1 故 dxdy Dxy ∫∫ + 2 a r rdr a d a = θ + ⋅ ∫ ∫ π 0 2 2 2 0 4 1 2 + 2 π a ( 6 2 5 5 1). 6 2 + − π = a