江画工太猩院 第六节 扬展开成冪 级数及其应用
江西理工大学理学院 第六节 函数展开成幂 级数及其应用
江画工太猩院 函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤:(1)求af(x0) (2)讨论imR=0或f"(x)≤M, n-0 则级数在收敛区间内收敛于f(x)
江西理工大学理学院 一、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤 : ; ! ( ) ( 1 ) 0 ( ) n f x a n 求 n = ( 2 ) lim 0 ( ) , ( ) R f x M n n n = ≤ → ∞ 讨论 或 则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x)
江画工太猩院 例1将f(x)=c2展开成的幂级数 解∫"(x)=e,∫"(0)=1.(n=0,2,) ex0在M,Mr"x)=erse (n=0,1,2,…) e2=1+x+-x2+…+-xn+ 由于M的任意性,即得 e2=1+x+x2+…+x"+…x∈(∞,+0) 2
江西理工大学理学院 例1 解 将f (x) e 展开成x的幂级数. x = ( ) , (n) x f x = e (0) 1. ( 0,1,2, ) f (n) = n = L x ↔ + + +L+ x n +L n e x x ! 1 2! 1 1 2 ∀M > 0, 在[−M, M]上 n x f (x) = e ( ) M ≤ e (n = 0,1,2,L) ∴ x = + + +L+ x n +L n e x x ! 1 2! 1 1 2 由于M的任意性, 即得 ( , ) !1 2!1 1 2 = + + + + x + x ∈ −∞ +∞ n e x x x L n L
江画工太猩院 例2将f(x)=simx展开成x的幂级数 解∫(x)=sin(x+),f(0)=sin ∴:f2(0)=0,y2+(0)=(-1),(m=0,2, HI(nissin(r+ x )s1x∈(0,+∞) 2n+1 x SIx=x x+—x (-1) 3!5! (2n+1) x∈(-0,+00
江西理工大学理学院 例2 将f ( x) = sin x展开成 x的幂级数 . 解 ), 2 ( ) sin( ( ) π = + n f x x n , 2 (0) sin ( ) π = n f n (0) 0, (2 ) ∴ = n f (0) ( 1) , (2n 1) n f = − + (n = 0,1,2,L) ( ) = ( ) f x 且 n ) 2 sin( π + n x ≤ 1 x ∈(−∞,+∞) L +L + ∴ = − + − + − + (2 1)! ( 1) 5!1 3!1 sin 2 1 3 5 nx x x x x n n x ∈(−∞,+∞)
江画工太猩院 例3将f(x)=(1+x)(a∈R展开成x的幂级数 解∵f"(x)=a(-1)…(a-n+1)1+x) fm(0)=0(a-1)(a-n+1),(n=0,1,2,) 1+r+ 0(-1)2 0(-1)…(-n+1) x"十 2 n n+I a-n =1,∴R=1, n→> n-yoon+
江西理工大学理学院 例3 将f (x) = (1+ x) (α ∈ R)展开成x的幂级数. α 解 ( ) ( 1) ( 1)(1 ) , (n) n f x n x α− Q = α α − L α − + + (0) ( 1) ( 1), ( ) f = α α − α − n + n L (n = 0,1,2,L) L L L + α α − α − + + + α α − + α + n x n n x x ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) 1 2 n n n a a 1 lim + →∞ Q 1 lim + − = →∞ n n n α = 1, ∴ R = 1
江画工太猩院 在(-1,1内,若 s(x)=1+ax+…+ 0(-1)…(0-n+1) y+∴ s(x)=0+a(0-1)x+…+ 0(-1)…(0-n+1) (n-1) 2 a(a-1)…(a-n+1) x(x)=ax+a(a-1)x2+…+ (n-1) 利用 (m-1)…(m-n+1),(m-1)…(团m-n)m(m-1)…(m-n+1) (n-1)! nk n
江西理工大学理学院 在(−1,1)内,若 L L L + α α − α − + = + α + + n x n n s x x ! ( 1) ( 1) ( ) 1 L L L + − α α − α − + ′ = α + α α − + + −1 ( 1)! ( 1) ( 1) ( ) ( 1) n x n n s x x L L L + − − − + ′ = + − + + n x n n xs x x x ( 1)! ( 1) ( 1) ( ) ( 1) 2 α α α α α α ! ( 1) ( 1) ! ( 1) ( ) ( 1)! ( 1) ( 1) n m m m n n m m n n m m n − − + = − − + − − L − + L L 利用
江画工太猩院 ∴(1+xS(x =C+0r 2+…x×a-1-0-n+ n as(X SIX 且s(0) s(x)1+x 两边积分 a,x∈(-1,1) tX 1 In s(x)-In s(0)=aIn(1+x)
江西理工大学理学院 ∴(1+ x)s′(x) L L L + α α − α − + + + α α − = α + α + −1 2 2 2 ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) n x n n x x = αs(x) , ( ) 1 ( ) s x x s x + = ′ ∴ α 且 s(0) = 1. 两边积分 , ( ) 1 ( ) 0 0 dx x dx s x x s x x ∫ ∫ +α = ′ x ∈(−1,1) 得 ln s(x) − ln s(0) = αln(1+ x)
江画工太猩院 即ns(x)=ln(1+x), s(x)=(1+x),x∈(-1,1) +X 牛顿二项式展开式 0(-1)2 c(-1)…(c-n+ 1+ar+ x+… x"十 2 nk x∈ 注意:在x=土l处收敛性与a的取值有关, aS-1收敛区间为(-1,1); 11收敛区间为-1
江西理工大学理学院 即 ln ( ) ln(1 ) , α s x = + x ( ) (1 ) , α ∴ s x = + x x ∈(−1,1) L L L + α α − α − + + + α α − = + α + ∴ + α n x n n x x x ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) 1 (1 ) 2 x ∈(−1,1) 牛顿二项式展开式 注意: 在x = ±1处收敛性与α的取值有关. α ≤ −1 收敛区间为(−1,1); − 1 1 收敛区间为[−1,1]
江画工太猩院 当a=-1±时,有 1-x+x2-x3+…+(-1)"x"+…(-1,1) 1+r 1+x=1+2x-242:46 1.3 x+…+(n1(2n-3)!n (2n) 2421x3+…+(1)22n-1) 1.3 1.3.5 1--x+—x /1+x 2n 双阶)
江西理工大学理学院 当 时, 有 21 α = −1,± 1 ( 1) ( 1,1) 1 1 2 3 = − + − + + − + − + x x x L n x n L x [ 1,1] (2 )!! (2 3)!! ( 1) 2 4 6 1 3 2 41 21 1 1 2 3 1 − + − + + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + = + − L n− x n L n n x x x x ( 1,1] (2 )!! (2 1)!! ( 1) 2 4 6 1 3 5 2 4 1 3 21 1 11 2 3 − + − + + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − + + L n x n L n n x x x x 双阶乘
江画工太猩院 2问接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换, 四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方 法求展开式 例如cosx=(sinx) 2n+1 sinx=x-x3+x2-…+(-1) 3,5! (2n+1) ∴C0x=/1,2,1, 2!4! x∈(-0,+00
江西理工大学理学院 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 法,求展开式. 例如 cos x = (sin x)′ ∴ = − + −L+ − +L (2 )! ( 1) 4!1 2!1 cos 1 2 2 4 nx x x x n n x ∈(−∞,+∞) Q L +L + = − + − + − + (2 1)! ( 1) 5!1 3!1 sin 2 1 3 5 nx x x x x n n
