江画工太猩院 第6节 函数的连续性与间断点
江西理工大学理学院 第 6 节 函数的连续性与间断点
江画工太猩院 一、函数的连续性 1、函数的增量 设函数f(x)在U(x,6纳内有定义,Vx∈U(x0,6) △x=x-x0,称为自变量在点x的增量 Δy=f(x)-f(xo)称为函数∫(x)相应于Δ的增量 y=f(x) y=f(x) △v △ xn+△rx +Ar x
江西理工大学理学院 一、函数的连续性 1、函数的增量 , . ( ) ( , ) , ( , ), 0 0 0 0 称为自变量在点 的增量 设函数 在 内有定义 x x x x f x U x x U x ∆ = − δ ∀ ∈ δ ( ) ( ), ( ) . ∆y = f x − f x 0 称为函数 f x 相应于 ∆x的增量 x y 0 x y 0 x 0 x 0 + ∆x y = f ( x ) ∆x x 0 x 0 + ∆x ∆x ∆y ∆y y = f ( x )
江画工太猩院 2、连续的定义 定义1设函数f(x)在U(xn0)内有定义如 果当自变量的增量Δx趋向于零时,对应的函 数的增量Δ也趋向于零即lim4y=0或 A→0 imf(x0+△x)-f(x0)=0,那末就称函数 △x→0 f(x)在点x连续,x称为f(x)的连续点 ix=x,+Ax, Ay=f(x) - f(x o), △x→0就是x→x,4y→0就是∫(x)→f(x)
江西理工大学理学院 2、连续的定义 定义 1 设函数 f (x)在 ( , ) U x0 δ 内有定义,如 果当自变量的增量∆x趋向于零时,对应的函 数的增量∆y也趋向于零,即lim 0 0 ∆ = ∆ → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + ∆ − = ∆ → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在点 0 x 连续, 0 x 称为 f (x)的连续点. , 设 x = x0 + ∆x ( ) ( ), x0 ∆y = f x − f 0 , ∆x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 ∆y → 就是 f x → f
江画工太猩院 定义2设函数∫(x)在U(xnD)内有定义,如果 函数f(x)当x→x时的极限存在且等于它在 点x0处的函数值八(x).即im(x)=/(x) 那末就称函数f(x)在点x连续 "!-δ"定义: VB>0,38>0,使当x-xn<8时, 恒有f(x)-f(x)<E
江西理工大学理学院 定义 2 设函数 f (x)在 ( , ) U x0 δ 内有定义,如果 函数 f (x)当 0 x → x 时的极限存在,且等于它在 点 0 x 处的函数值 ( )0 f x ,即 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在点 0 x 连续. "ε − δ"定义 : ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 ε ε δ δ − ∃ > − < f x f x x x 恒有 使当 时
江画工太猩院 例1试证函数∫f(x) xsin-,x≠0, x 在x=0 处连续. 证: lim x sin-=0, x→0 又f(0)2=0,limf(x)=∫(0), 由定义2知 函数f(x)在x=0处连续
江西理工大学理学院 例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = ≠ = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x Q 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在 x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →
江画工太猩院 3、单侧连续 若函数f(x)在(a,x有定义,且f(x-0)=f(xn), 则称f(x)在点x1处左连续; 若函数f(x)在x1,b内有定义,且f(x0+0)=f(x1 则称f(x)在点x处右连续 定理函数f(x)在x处连续兮是函数f(x)在x 处既左连续又右连续
江西理工大学理学院 3、单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函数 f x 在 x 处连续 ⇔ 是函数 f x 在 x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x
江画工太猩院 x+2,r≥0 例2讨论函数f(x)= 在x=0处的 2,x<0 连续性 #t lim f(x)=lim(x+2)=2f(O), x→0 limf(x =lim(x-2)=-2*f(0), 右连续但不左连续, 故函数∫(x)在点x=0处不连续
江西理工大学理学院 例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处的 ⎩⎨⎧ − < + ≥ = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2≠ f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f ( x)在点 x = 0处不连续
江画工太猩院 4、连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上 的连续函数或者说函数在该区间上连续 如果函数在开区间(an,b内连续,并且在左端点 x=n处右连续,在右端点x=b处左连续,则称 函数f(x)在闭区间[a,b止上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如有理函数在区间(-0,+0)内是连续的
江西理工大学理学院 4、连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如,有理函数在区间 (−∞,+∞)内是连续的
江画工太猩院 例3证明函数y=sin在区间(-∞,+∞内连续 证任取x∈(-0,+40), △ △ y=sin(x+ Ax)-sin x 2 sin. cos(x+m) ∵c0s(x+ ≤1,则Ays2in 对任意的a,当α≠0时,有inc4a △ 故4ys2in;< △,∴当Δx→0时,4y→0 即函数y=sinx对时任意x∈(∞,+∞)都是连续的
江西理工大学理学院 例3 证明函数 y = sin x在区间(−∞,+∞)内连续. 证 任取 x ∈(−∞,+∞), ∆y = sin( x + ∆x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x ∆ ⋅ + ∆ = ) 1, 2 cos( ≤ ∆ + x Q x . 2 2sin x y ∆ 则 ∆ ≤ 对任意的 α,当α ≠ 0时, 有 sinα <|α |, , 2 2sin x x y < ∆ ∆ 故 ∆ ≤ ∴当∆x → 0时,∆y → 0. 即函数 y = sin x对任意 x ∈(−∞,+∞)都是连续的
江画工太猩院 二、函数的间断点 函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件 (1)f(x)在点x处有定义; (2)im∫(x)存在; ()lim f(x)=f(ro). x→x0 如果上述三个条件中只要有一个不满足,则称 函数f(x)在点x处不连续(或间断),并称点x为 f(x)的不连续点或间断点)
江西理工大学理学院 二、函数的间断点 ( ) : 函数 f x 在点 x 0处连续必须满足的三个 条件 ( 1 ) ( ) ; f x 在点 x 0处有定义 ( 2 ) lim ( ) ; 0 f x 存在 x → x ( 3 ) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → ( ) ( ). ( ) ( ), , 0 0 的不连续点 或间断点 函数 在点 处不连续 或间断 并称点 为 如果上述三个条件中只 要有一个不满足 则称 f x f x x x