江画工太猩院 第五节 幂般数的逐算 泰勒般数
江西理工大学理学院 第五节 幂级数的运算 泰勒级数
江画工太猩院 幂级数的运算 1.代数运算性质: 设∑anx和∑bx的收敛半径各为R和R2, H=0 -=0 R=minRu,R, 1)加减法 nx"±∑bx"=∑x.x∈(RR) n-=0 (其中Cn=an±bn)
江西理工大学理学院 一、幂级数的运算 1.代数运算性质: (1) 加减法 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ± 0 n 0 n n n n n a x b x . 0 ∑ ∞ = = n n n c x (其中 R = min { R 1 , R 2 } ) n a n b n c = ± x ∈ ( − R , R ) , 1 2 0 0 a x b x R R n n n n n 设 ∑ n 和 ∑ 的收敛半径各为 和 ∞ = ∞ =
江画工太猩院 (2)乘法 Cax)②bx)=∑ex.x∈(-R,R) n=0 n=0 =0 其中Cn=an·bn+a·bn1+…+anb) 2 x 柯 西a1bab1ab2a 乘 积 ·
江西理工大学理学院 (2) 乘法 ( ) ( ) 0 0 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ⋅ n n n n n n a x b x . 0 ∑ ∞ = = n n n c x x ∈(− R,R) (其中 ) a0 b a1 b 1 a b0 cn n n n = ⋅ + ⋅ + + ⋅ − L a0b0 a0b1 a0b2 a0b3 a1b0 a1b1 a1b2 a1b3 a2b0 a2b1 a2b2 a2b3 a3b0 a3b1 a3b2 a3b3 L L L L L L L L L 柯 西 乘 积 1 x x2 x3 L
江画工太猩院 3)除法(收敛域内∑bx≠=0) △nx a=∑cx.(相除后的收敛区间比原来 ∑bx 两级数的收敛区间小得多) n1=0 2和函数的分析运算性质: ()幂级数∑a1x"的和函数x)收敛区间 n=0 (-R,R)内连续在端点收敛则在端点单侧连续
江西理工大学理学院 (3) 除法 ∑ ∑ ∞ = ∞ = 0 0 n n n n n n b x a x . 0 ∑ ∞ = = n n n c x ( 0) 0 ∑ ≠ ∞ n= n n 收敛域内 b x (相除后的收敛区间比原来 两级数的收敛区间小得多) 2.和函数的分析运算性质: (1) 幂级数∑ ∞ n=0 n n a x 的和函数s( x)在收敛区间 (−R, R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续
江画工太猩院 )幂级数∑anx“的和函数x)在收敛区间 1= (-R,R)内可积且对x∈(-R,R)可逐项积分 即sxt= a,x)dx ∑,ac=∑62 n-=0 +1 收敛半径不变)
江西理工大学理学院 (2) 幂级数∑ ∞ n=0 n n a x 的和函数s( x)在收敛区间 (−R, R)内可积,且对∀x ∈ (−R, R)可逐项积分. ∫ ∫ ∑ ∞ = = x n n n x s x dx a x dx 0 0 0 即 ( ) ( ) ∑∫ ∞ = = 0 0 n x n n a x dx . 1 1 0 + ∞ = ∑ + = n n n x na (收敛半径不变)
江画工太猩院 3)幂级数∑a1x的和函数(x)在收敛区间 1= (-R,R)内可导,并可逐项求导任意次 即s(x)=②∑anx")y ∑(anr"y=∑m n-1 (收敛半径不变)
江西理工大学理学院 (3) 幂级数∑ ∞ n=0 n an x 的和函数s( x)在收敛区间 (−R, R)内可导, 并可逐项求导任意次. ∑ ∞ = ′ = ′ 0 ( ) ( ) n n n 即 s x a x ∑ ∞ = = ′ 0 ( ) n n n a x . 1 1 ∑ ∞ = − = n n n na x (收敛半径不变)
江画工太猩院 例1求级数∑(-1)”1的和函数 -1 解∵s(x)=∑(1)",显然(0)=0, n S(x)=1-x+x2…=,,(-1<x<1) 1+x 两边积分得 s(=ln(1+x)
江西理工大学理学院 例 1 求级数∑ ∞ = − − 1 1 ( 1) n n n n x 的和函数. 解 ( ) ( 1) , 1 1 ∑ ∞ = − = − n n n n x Qs x 显然 s(0) = 0, 两边积分得 ( ) ln(1 ) 0 s t dt x x ′ = + ∫ s′(x) = 1− x + x2 −L , 1 1+ x = (−1 < x < 1)
江画工太猩院 即s(x)-s(0)=lm(1+x) s(x)=ln(1+x), 又x=1时,∑(-11收敛 ∑(-1) =ln(1+x).(-1<xs1)
江西理工大学理学院 又 x = 1时, . 1 ( 1) 1 ∑ 1 收敛 ∞ = − − n n n ( 1) ln(1 ). 1 1 x n x n n n ∴∑ − = + ∞ = − (−1 < x ≤ 1) ∴ s(x) = ln(1+ x), 即 s(x) − s(0) = ln(1+ x)
江画工太猩院 例2求幂级数∑(n+1)x2的和函数 n=0 解设sx)=∑(n+1)x=∑nx"+∑x" -=0 2=2x∑n“,设4()=∑nx, n-=0 x)k=∑小x2a=∑x xK1
江西理工大学理学院 例 2 求幂级数∑ ∞ = + 0 (2 1) n n n x 的和函数. 解 ∑ ∞ = = + 0 ( ) (2 1) n n 设 s x n x ∑ ∑ ∞ = ∞ = = + 0 0 2 n n n n nx x 2 2 , 1 1 0 ∑ ∑ ∞ = − ∞ = = n n n n Q nx x nx ( ) , 1 1 ∑ ∞ = − = n n 设A x nx A x dx n x dx n x n x ∫ ∑ ∫ ∞ = − = 1 0 1 0 ( ) ∑ ∞ = = n 1 n x , 1 x x − = | x |< 1
江画工太猩院 A(r) y ∑ 2x 2n"= ∑x ,|x1 s(x)=∑(2n+x2 2x 0 1+x IxKI
江西理工大学理学院 ′ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − ∴ = x x A x 1 ( ) , (1 ) 1 2 − x = , (1 ) 2 2 2 0 x x nx n n − ∴∑ = ∞ = , | | 1 1 1 0 < − ∑ = ∞= x x x n n Q ∴ = ∑ + = ∞ =0 ( ) (2 1) n n s x n x + − 2 (1 ) 2 x x 1− x 1 . | | 1 (1 ) 1 2 < −+ = x xx