江画工太猩院 第四节 三重积分的欐食 及计算方法
江西理工大学理学院 第四节 三重积分的概念 及计算方法
江西理工大学理学院 三重积分的定义 设f(x,y,)是空间有界闭区域Ω上的有界 函数,将闭区域Ω任意分成n个小闭区域△v, △,,△v,其中△v表示第个小闭区域,也表 示它的体积,在每个△v上任取一点(5)作 乘积f(,△v,(i=1,2,n),并作和,如 果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分,记为 f(x, y,), Ω
江西理工大学理学院 设 f ( x , y , z )是空间有界闭区域 Ω上的有界 函数，将闭区域 Ω任意分成 n个小闭区域 1 ∆ v ， 2 ∆ v ,L, n ∆ v ，其中 i ∆ v 表示第 i个小闭区域，也表 示它的体积, 在每个 i ∆ v 上任取一点 ( , , ) ξ i ηi ζ i 作 乘积 i i i i f (ξ ,η , ζ )⋅ ∆ v ，( i = 1 , 2 , L , n )，并作和, 如 果当各小闭区域的直径中的最大值 λ趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y , z )在闭区域 Ω上的三重积分，记为 ∫∫∫ Ω f ( x , y , z )dv, 一、三重积分的定义
江画工太猩院 n 即∫f(,,b=imC(5,n,5)△ 3→记1 其中叫做体积元素 在直角坐标系中,如果用平行于坐标面 的平面来划分9,则Δ=AxA△x 三重积记为 n f(r, y, z) dxdydz =lim >f(Si, i, Si)Av →0 i=1 其中dtd小z叫做直角坐标系中的体积元素
江西理工大学理学院 即 ∫∫∫ Ω f ( x, y,z)dv i i i n i i = ∑ f ∆v = → lim ( , , ) 1 0 ξ η ζ λ . 其中dv 叫做体积元素 . 的平面来划分 Ω, 在直角坐标系中，如果 用平行于坐标面 . i j k l 则 ∆v = ∆x ∆y ∆z 三重积记为 ∫∫∫ Ω f (x, y,z)dxdydz i i i n i i = ∑ f ∆v = → lim ( , , ) 1 0 ξ η ζ λ . 其中 dxdydz 叫做直角坐标系中的体 积元素
江画工太猩院 二、三重积分的计算 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 如图,闭区域在xOy 12=2(r,y) 面上的投影为闭区域D, z=1(x,) 罚1b S2:z=42(x,y), :2=zx,y) 过点(x,y)∈D作直线,0mm 从x穿入,从2穿出 (x,y力y=y2(x) y=yI
江西理工大学理学院 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 二、三重积分的计算 x y z o Ω D 1 z 2 z S 2 S1 ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y a b ( ) 1 y = y x ( ) 2 ( x, y) y = y x 如图， D , xoy 面上的投影为闭区域 闭区域 Ω 在 : ( , ), : ( , ), 2 2 1 1 S z z x y S z z x y = = 过点 ( x , y ) ∈ D 作直线 , 从 z 1 穿入，从 z 2 穿出．
江画工太猩院 先将x,y看作定值,将∫(x,y,x)只看作的 函数,则 22(x,y) F(x, y)=f(r, y, z) dz 1(x,y) 计算F(x,y)在闭区间D上的二重积分 F(x, yao ∫(x,y,)dzda 1(x,y) D:y(x)≤y≤y2(x,a≤x≤b,得
江西理工大学理学院 函数，则 先将 x, y 看作定值，将 f (x, y,z)只看作 z 的 ∫ = ( , ) ( , ) 21 ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz 计算 F( x, y) 在闭区间 D 上的二重积分 ( , ) [ ( , , ) ] . ( , ) ( , ) 21 ∫∫ ∫∫ ∫ = D z x y z x y D F x y dσ f x y z dz dσ : ( ) ( ), , Q D y1 x ≤ y ≤ y2 x a ≤ x ≤ b 得
江画工太猩院 f(x, y, z)dv Q b,P2(x),P2(x,y) f(x,3,2)dz a y,(x)Ji,(x, y) 注意这是平行于z轴且穿过闭区域Ω内部的 直线与闭区域g的边界曲面S相交不多 于两点情形
江西理工大学理学院 = ∫∫∫ Ω f (x, y,z)dv ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 21 21 ∫∫ ∫ ba y x y x z x y z x y dx dy f x y z dz 注意 于两点情形． 直线与闭区域 的边界曲面 相交不多 这是平行于 轴且穿过闭区域 内部的 S z Ω Ω
江画工太猩院 例1化三重积分=(x,y,减d为三 次积分,其中积分区域9为由曲面z=x2+2y 及Z=2-x2所围成的闭区域 7=x2+2y2 0.5 解由 Z=2-x 得交线投影区域 x2+y2<1
江西理工大学理学院 例 1 化三重积分 ∫∫∫ Ω I = f (x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中积分区域Ω为由曲面 2 2 z = x + 2 y 及 2 z = 2 − x 所围成的闭区域. 解 由⎩⎨⎧ = − = + 2 2 2 2 2 z x z x y , 得交线投影区域 1, 2 2 x + y ≤
江画工太猩院 1<x<1 故9:{-1-x2ys1-x2 x2+2y2≤x2-x 1=小,(x,k
江西理工大学理学院 故 Ω： ⎪⎩ ⎪⎨⎧ + ≤ ≤ − − − ≤ ≤ − − ≤ ≤ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y z x x y x x , ( , , ) . 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ 2 − −+ − − − ∴ = x x y xx I dx dy f x y z dz
江画工太猩院 例2化三重积分I=f(x,y,d为三 Q 次积分,其中积分区域 Ω为由曲面z=x-2+y2, y=x2,y=1,=0所围1 成的空间闭区域如图, 解ΩQ:0≤z≤x+y, x2≤ysl,-1sx≤1. 2,2 =,4kd x"十 f(x, y, z)di
江西理工大学理学院 例2 化三重积分 ∫∫∫ Ω I = f (x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中 积分区域 Ω为由曲面 2 2 z = x + y , 2 y = x , y = 1, z = 0所围 成的空间闭区域. ∫ ∫ − ∫ + = 11 0 1 2 2 2 ( , , ) x y x I dx dy f x y z dz. 解 1, 1 1. : 0 , 2 2 2 ≤ ≤ − ≤ ≤ Ω ≤ ≤ + x y x z x y 如图
江画工太猩院 例3将小”(x,70按yx 的次序积分 解 D1 0.40.60.8 0≤z≤x 0: y≤1 y
江西理工大学理学院 x y z 例 3 将∫ ∫ ∫ 1 + 0 10 0 2 2 ( , , ) x y dx dy f x y z dz按 y,z, x 的次序积分. D1：⎩⎨⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ 0 1 0 2 yz x 解 D1