江画工太猩院 第3节 定积分的物理应用
江西理工大学理学院 第 3 节 定积分的物理应用
江西理工大学理学院 、变力沿直线所作的功 由物理学知道,如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F作用在这物体上,且 这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在 物体移动了距离s时,力F对物体所作的功为 W=. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的,就不能直接使用此公式,而采用“微元法” 思想
江西理工大学理学院 由物理学知道，如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为 W = F ⋅ s . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法 ” 思想. 一、变力沿直线所作的功
江画工太猩院 例1把一个带+q电量的点电荷放在r轴上 坐标原点处,它产生一个电场.这个电场对周围 的电荷有作用力.由物理学知道,如果一个单位 正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方, 那么电场对它的作用力的大小为F=k(k 是常数),当这个单位正电荷在电场中从r=a 处沿r轴移动到r=b处时,计算电场力F 对它所作的功
江西理工大学理学院 例1 把一个带 + q 电量的点电荷放在 r 轴上 坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围 的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位 正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方， 那么电场对它的作用力的大小为 2 rq F = k （k 是常数），当这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴移动到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．
江画工太猩院 解取r为积分变量, +q o a r tdr b r∈,b, 取任一小区间,r+h,功元素d="d, 1b 所求功为w="2b=k 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 o karaka r
江西理工大学理学院 解 取r 为积分变量， o r • + q ⋅ a ⋅ b • •• • • • • + 1 r r ∈[a,b], ⋅ r + dr 取任一小区间[r,r + dr], 功元素 , 2 dr rkq dw = 所求功为 dr r kq w b ∫a = 2 b a r kq ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = − 1 . 1 1 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = − a b kq 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 dr r kq w ∫a+∞ = 2 +∞ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = − a r kq 1 . akq =
江画工太猩院 例2一圆柱形蓄水池 高为5米,底半径为 3米,池内盛满了水 问要把池内的水全部 吸出,需作多少功? 点击图片任意处播放暂停 解建立坐标系如图 取为积分变量,x∈[0, 取任一小区间x,+
江西理工大学理学院 点击图片任意处播放\暂停 例2 一圆柱形蓄水池 高为5米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？ 解 建立坐标系如图 x o x 取 x + dx x为积分变量， x ∈[0,5] 取任一小区间 ] 5 [ x, x + dx
江画工太猩院 这一薄层水的重力为 9.8732d Ix+dxl 功元素为d=882mx, w=88.2π·x·dx =8223462(千焦)
江西理工大学理学院 x o x x + dx 5 这一薄层水的重力为 dx 2 9.8π⋅ 3 功元素为 dw = 88.2π⋅ x ⋅ dx, w = π⋅ x ⋅ dx ∫ 88.2 50 5 0 2 2 88.2 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = π x ≈ 3462 (千焦)．
江画工太猩院 例3用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的 阻力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第 次锤击时将铁钉击入1厘米,若每次锤击所作 的功相等,问第n次锤击时又将铁钉击入多 少? 解设木板对铁钉的阻力为∫(x)=kr, 第一次锤击时所作的功为w=,(x)d 设n次击入的总深度为砸厘米 n次锤击所作的总功为v2=f(x)k
江西理工大学理学院 解 设木板对铁钉的阻力为 f (x) = kx, 第一次锤击时所作的功为 ∫ = 10 1 w f (x)dx , 2k = ( ) . ∫0 = h h w f x dx 例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的 阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第 一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作 的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多 少？ n 设 次击入的总深度为 厘米 n h n次锤击所作的总功为
江画工太猩院 wh,=hrde kh2 依题意知,每次锤击所作的功相等 kh2 k W=聊w1→ n次击入的总深度为h=Ⅶn, 第n次击入的深度为、n-√n-1
江西理工大学理学院 ∫ = h wh kxdx 0 , 22 kh = 依题意知，每次锤击所作的功相等． wh = nw1 ⇒ 2 2 kh , 2 k = n⋅ h = n, n − n − 1. n次击入的总深度为 第 次击入的深度为 n
江画工太猩院 二、水压力 由物理学知道,在水深为h处的压强为 P=h,这里y是水的比重.如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处,那么,平板 一侧所受的水压力为P=pA 如果平板垂直放置在水中,由于水深不同 的点处压强p不相等,平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式,而采用“微元法” 思想
江西理工大学理学院 由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p = γh，这里γ 是水的比重．如果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深为 h处，那么，平板 一侧所受的水压力为 P = p ⋅ A． 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同 的点处压强 p不相等，平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式，而采用“微元法 ” 思想． 二、水压力
江画工太猩院 例4一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶 水,设桶的底半径为R,水的比重为y,计算桶 的一端面上所受的压力 解在端面建立坐标系如图 取为积分变量,x∈|0,R 取任一小区间x,x+x 小矩形片上各处的压强近 似相等P=x, 小矩形片的面积为2R2-x2dk
江西理工大学理学院 例4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶 水，设桶的底半径为R，水的比重为γ ，计算桶 的一端面上所受的压力． 解 在端面建立坐标系如图 x o 取x为积分变量，x ∈[0,R] 取任一小区间[ x, x + dx] x x + dx 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片的面积为 2 . 2 2 R − x dx p = γx
