江画工太猩院 第3节 泰勒公式 函数单调性的判别法
江西理工大学理学院 第 3 节 泰勒公式 函数单调性的判别法
江画工太猩院 、问题的提出 1.设f(x)在x1处连续,则有 f(r)sf(xo) Lf(x=f(x)+a 2设f(x)在x处可导,则有 f(x)≈∫(x)+f(x)x-x If(r)=f(ro)+f(o(x-xo)+o(x-xol 例如,当x很小时,e2≈1+x,l(1 +y)≈x (如下图)
江西理工大学理学院 一、问题的提出 1.设 f (x)在 0 x 处连续,则有 2.设 f (x)在x0处可导,则有 例如, 当 x 很小时, e x x ≈ 1 + , ln(1 + x) ≈ x [ f ( x) = f ( x0 ) +α ] [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f ′ − + − （如下图） ( ) ( ) x0 f x ≈ f ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x ≈ f x + f ′ −
江画工太猩院 e y=n(1+x) =1+x 0 0
江西理工大学理学院 x y = e y = 1 + x o x y = e o y = x y = ln(1 + x)
江画工太猩院 不足:1、精确度不高;2、误差不能估计 问题:寻找函数P(x,使得f(x)xP(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计 设函数∫(x)在含有x的开区间(a,b)内具有直到 (n+1)阶导数,P(x)为多项式函数 P(x)=an+a1(x-x)+a4(x-xn)2+…+an(x-x) 误差Rn(x)=f(x)-P(x)
江西理工大学理学院 不足: 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x) ≈ P(x) 误差 R( x) = f ( x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 设函数 f ( x)在含有 x0的开区间(a,b)内具有直到 (n + 1)阶导数,P( x)为多项式函数 n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 +L+ − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n
江画工太猩院 、P和R的确定 分析: 1若在x点相交 近似程 P,(ro=f(ro) y=f(r) 感/2若有相同的切线 度 来 越 P(xo=f(ro) 好 3若弯曲方向相同 P(x)=f"(x) 0
江西理工大学理学院 二、Pn和Rn的确定 x0 y = f ( x) o x y 分析: ( ) ( ) 0 x0 P x f n = ( ) ( ) 0 x0 P x f n′′ = ′′ ( ) ( ) 0 x0 P x f n′ = ′ LL LL 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 x0
江画工太猩院 假设P(x)=f“(x)k=12,…,n n,=f(x),1a1=f(x),2a2=f"(x) ……,na,=f"(x) 得 f(x)(k=0,2,…,n) k 代入P(x)中得 P2(x)=f(xn)+f(xn)(x-x)+(x-x0)2+ e(n) + x=x
江西理工大学理学院 假设 P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = = L ( ), 0 0 a = f x 代入P ( x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) !( ) ( ) 2!( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + ′′ = + ′ − + L 得 ( ) ( 0,1,2, , ) !1 0 ( ) f x k n k a k k = = L 1 ( ), 1 x0 ⋅ a = f ′ 2! ( ) 2 0 ⋅a = f ′′ x L L , ! ( )0 ( ) n a f x n ⋅ n =
江画工太猩院 三、泰勒( Taylor)中值定理 泰勒〔ayor)中值定理如果函数f(x)在含有x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1阶的导数,则 当x在(n,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个 n次多项式与一个余项R(x)之和: f(x)=f(x)+f(x0)(x-x)+ f"(o(x-x) 2! fm(o) …十 (x-xo)+rn(x) (n+1) 其中R(x)= nD(x-x在x与x之间)
江西理工大学理学院 三、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x )在含有 x 0 的某个开区间 ( a , b )内具有直到 ( n + 1 )阶的导数,则 当 x 在 ( a , b )内时, f ( x )可以表示为 ( ) x − x 0 的一个 n次多项式与一个余项 R ( x ) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − ′′ = + ′ − + L 其中 1 0 ( 1 ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ξ (ξ 在 0 x 与 x之间)
江画工太猩院 证明:由假设,R(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶 导数,且 Rn(xn)=R(x)=R"(x0)=…=R(x)=0 两函数R(x)及(x-x)+在以xn及x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 r, (x) Rn(x)=r(ro) 七)"+ (x-x)+1-0 ,(S n+5-)7(5在x与x之间)
江西理工大学理学院 由假设, 证明: R ( x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1)阶 导数,且 两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在以x0及 x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n ξ ξξ + − ′ = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R′ x0 = R′′ x0 = = R x = n n n n L n
江画工太猩院 两函数R(x)及(n+1)x-x0)在以x及5为端点 的区间上满足柯西中值定理的条件,得 R(51)R(5)-R(x) (n+151-x)"(n+1)(51-x)y-0 R(S) (2在x0与之间) n(n+1)(52-x) 如此下去,经过(n+1)次后,得 R(x)R+() "ro n+I n (2在x0与之间,也在x0与x之间)
江西理工大学理学院 如此下去,经过(n + 1)次后,得 两函数 R (x) n′ 及 n (n 1)(x x ) + − 0 在以 0 x 及 1 ξ 为端点 的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − ′ − ′ = + − ′ n n n n n n x R R x n x R ξ ξ ξ ξ ( ) 1 ! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n R x x R x nn n n ξ (ξ在x0与ξ n之间,也在 0 x 与x之间) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 ξ 在 与ξ 之间 ξξ x n n x R n n − + − ′′ =
江画工太猩院 P"(x)=0,∴Rm="(x)=f((x) 则由上式得 (+1) R(x(n+1)-4)-(在与x之间) 3灬x-xn) 0(x)= k! 称为f(x)按(x-x)的幂展开的n次近似多项式 (k) ∫(x)=∑ (x-xo" +r,x) = K 称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式
江西理工大学理学院 ∑ = = − n k k k n x x k f x P x 0 0 0 ( ) ( ) !( ) ( ) 称为 f (x)按( ) 0 x − x 的幂展开的 n 次近似多项式 ∑ = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) !( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 阶泰勒公式 ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 nf R x n n n ξ ξ + + − + = 则由上式得 ( ) 0, ( 1) = + P x n Q n ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + ∴ =