江画工太猩院 第3节 不定积分 的概念与性质
江西理工大学理学院 第 3 节 不定积分 的概念与性质
江西理工大学理学院 、原函数与不定积分的概念 定义:如果在区间I内,可导函数F(x)的 导函数为f(x),即Vx∈,都有F(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x) 或f(x)dx在区间/内原函数 例(sinx)= cosx sinx是cosx的原函数 ′1 (nx)= >0) nx是在区间(0,+∞)内的原函数 X
江西理工大学理学院 例 ( ) sin x = cos x ′ sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = > ′ x x x ln x是 x 1在区间(0,+∞)内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F( x)的 即∀x ∈ I ，都有F ′( x) = f ( x) 或dF( x) = f ( x)dx，那么函数F( x)就称为 f ( x) 导函数为 f ( x)， 或 f ( x)dx在区间I 内原函数. 一、原函数与不定积分的概念
江画工太猩院 原函数存在定理: 如果函数∫(x)在区间内连续, 那么在区间I内存在可导函数F(x) 使∨x∈Ⅰ,都有F'(x)=∫(x) 简言之:连续函数一定有原函数 问题:(1)原函数是否唯一? (2)若不唯一它们之间有什么联系? Bi(sin x =cos x (sinx+C)=cosx (C为任意常数)
江西理工大学理学院 原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 ( ) sin x = cos x ′ ( ) sin x C = cos x ′ + （ 为任意常数） C 那么在区间I内存在可导函数F(x)， 使∀x ∈ I，都有F′(x) = f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
江画工太猩院 关于原函数的说明: (1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是∫(x)的原函数 (2)若F(x)和G(x)都是f(x)原函数, 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) iTE: F(x)-G(x)=F'(x)G(x) f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数)
江西理工大学理学院 关于原函数的说明： （ 1）若 ，则对于任意常数 ， F′( x ) = f ( x ) C F ( x ) + C都是 f ( x )的原函数 . （ 2）若 和 都是 的原函数， F ( x ) G ( x ) f ( x ) 则 F ( x ) − G ( x ) = C （ 为任意常数） C 证 [ ] F ( x ) G ( x ) = F′( x ) − G′( x ) ′ Q − = f ( x ) − f ( x ) = 0 ∴ F ( x ) − G ( x ) = C （ 为任意常数） C
江画工太猩院 不定积分的定义: 在区间I内,函数∫(x)的带有任意 常数项的原函数称为f(x)在区间I内的 不定积分,记为(x) f(r)dx= F(x)+C 积被被 分积积积任 号函表分意 数送变常 式量数
江西理工大学理学院 积分号 被积函数 任意常数 不定积分的定义： 在区间I 内， ∫ f (x)dx被积表达式 = F(x) + C 积分变量 函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f (x)在区间I内的 不定积分，记为∫ f (x)dx
江画工太猩院 例1求∫x:t 解 =x,∴x次=+C. 例2求∫1 2 1+x 解:( arctan x 1+x l,dx=arctan+C
江西理工大学理学院 例1 求 . 5 ∫ x dx 解 , 6 5 6 x x = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Q . 6 6 5 C x ∴ x dx = + ∫ 解 例2 求 . 1 1 2 ∫ + dx x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + =′ Q arctan . 1 1 ∫ 2 = + + ∴ dx x C x
江画工太猩院 例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 解设曲线方程为y=∫(x), 根据题意知 dy 2x 即f(x)是2x的一个原函数 ∫2d=x2+C,∴f()=x+C, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
江西理工大学理学院 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dxdy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2 ∫ Q xdx = x + C ( ) , 2 ∴ f x = x + C 由曲线通过点（1，2）⇒ C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +
江画工太猩院 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 显然,求不定积分得到一积分曲线族 由不定积分的定义,可知 F(x)dr= F(x)+c, dF(x)=F(x)+C 结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的
江西理工大学理学院 函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x)的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 [ f (x)dx] f (x), dxd = ∫ d[ f(x)dx]= f(x)dx, ∫ ( ) ( ) , ∫ F′ x dx = F x + C ( ) ( ) . ∫ dF x = F x + C 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的
江画工太猩院 二、基本积分表 +1 买例/ y x→x" to + 1+1 ≠ 启示能否根据求导公式得出积分公式? 结论既然积分运算和微分运算是互逆的,因 此可以根据求导公式得出积分公式
江西理工大学理学院 实例 µ µ µ x x = ′ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ++11 . 11 C x x dx + µ + ⇒ = µ+ µ ∫ 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式. (µ ≠ −1) 二、 基本积分表
江画工太猩院 1()M=kc+C(是常数 (2)|x"=+C(≠-1); μ+1 (3)|-=ln|x|+C; 说明:x>0,→=mx+C, x<0,|l(-x)=-(-x) =ln(-x)+C, =Inx+C) 简写为(=m1xH+C
江西理工大学理学院 基 本 积 分 表 ∫ ( 1 ) kdx = kx + C ( k是常数); ( 1); 1 ( 2 ) 1 + µ ≠ − µ + = µ + µ ∫ C x x dx ( 3 ) ln | | ; ∫ = x + C x dx 说明： x > 0 , ⇒ ln , ∫ = x + C x dx x < 0 , [ln( − x ) ]′ = , 1 ( ) 1 x x x − ′ = − ln( ) , ∫ ⇒ = − x + C x dx ln | | , ∫ ∴ = x + C x dx 简写为 ln | | . ∫ = x + C x dx