江画工太猩院 第6节 空间直线及其方程
江西理工大学理学院 第 6 节 空间直线及其方程
江西理工大学理学院 空间直线的一般方程 定义空间直线可看成两平面的交线 1:A1x+B1y+C1z+D1=0 乙 2 y 空间直线的一般方程X L上的点都满足原方程,不是L上的点都不满足 原方程
江西理工大学理学院 x y z o π 1 π 2 定义 空间直线可看成两平面的交线． : 0 π 1 A1 x + B1 y + C1z + D1 = : 0 π 2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ⎩⎨⎧ + + + = + + + = 00 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 空间直线的一般方程 L 一、空间直线的一般方程 L上的点都满足原方程， 原方程. 不是L上的点都不满足
江画工太猩院 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义: 如果一非零向量平行于 条已知直线,这个向量称 为这条直线的方向向量 Mo(,yo, o), M(x,D,z) VM∈L,M0MS 5=m,n,P M,M=(x-xo,y-y,2-2
江西理工大学理学院 x y z o 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． s r L ( , , ), 0 0 0 0 M x y z M0 ⋅ ⋅ M ∀ M ∈ L, M(x, y,z), M M sr 0 // s = {m, n, p}, r { , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z 二、空间直线的对称式方程与参数方程
江画工太猩院 x-x0_y-J_3-4 直线的对称式方程 x-xo y-yo t U=t x=x t mt 直线的一组方向数 y=yo+ nt 方向向量的余弦称为 x=n+t直线的方向余弦 直线的参数方程
江西理工大学理学院 p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 直线的对称式方程 t p z z n y y m x x = − = − = 令 − 0 0 0 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = + = + = + z z pt y y nt x x mt 0 0 0 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦. 直线的参数方程
江画工太猩院 例1用对称式方程及参数方程表示直线 x+y++1=0 2x-y+3x+4=0 解在直线上任取一点(x1,y,) 「yn+zn+2=0 取x0=1→ 37-6=0 解得J0=0,xn=-2 点坐标(1,0,-2)
江西理工大学理学院 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 . 2 3 4 0 1 0 ⎩⎨⎧ − + + = + + + = x y z x y z 解 在直线上任取一点 ( , , ) 0 0 0 x y z 取 x0 = 1 , 3 6 0 2 0 0 0 0 0 ⎩⎨⎧ − − = + + = ⇒ y z y z 解得 y0 = 0, z0 = −2 点坐标(1,0,−2)
江画工太猩院 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取§=n1xn2={4,-1,-3;, 对称式方程 -1y-0z+2 x=1+4t 参数方程{y=-t 2-3t
江西理工大学理学院 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 n 1 n 2 s r r r = × = { 4 , − 1 , − 3}, 对称式方程 , 3 2 1 0 4 1 − + = − − = x − y z 参数方程 . 2 3 1 4 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − = − = + z t y t x t
江画工太猩院 例2一直线过点A(2,-3,4),且和y轴垂直相 交,求其方程 解因为直线和y轴垂直相交, 所以交点为B(0,-3,0), 取s=BA={2,0,4}, 所求直线方程 x-2y+3x-4 20
江西理工大学理学院 例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和 y轴垂直相 交，求其方程. 解 因为直线和 y轴垂直相交, 所以交点为 B(0,−3, 0), 取 s = BA r = {2, 0, 4}, 所求直线方程 . 4 4 0 3 2 2 − = + = x − y z
江画工太猩院 三、两直线的夹角 定义两直线的方向向量的夹角称之.(锐角) 直线L1 x-x y-yi i- 直线r,x-x2y-2-2 2 C0s(L1,L2)= Im,m, +,n, tpi 12 2 Vm+n1+n·√m2+n2+p2 两直线的夹角公式
江西理工大学理学院 定义 直线 : L1 , 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x − = − = − 直线 : L2 , 2 2 2 2 2 2 p z z n y y m x x − = − = − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 | | cos( , ) m n p m n p m m n n p p L L + + ⋅ + + + + ^ = 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角） 两直线的夹角公式 三、两直线的夹角
江画工太猩院 两直线的位置关系: (1)L⊥L2∈→mm2+n1n2+P1P2=0, n p (2)L1∥L2∈→ 例如,直线L:5={,4,0%, 直线L2:2={0,1, ∵1·52=0,∴⊥52,即L⊥L2
江西理工大学理学院 两直线的位置关系： 1 2 ( 1 ) L ⊥ L 0 , ⇐ ⇒ m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 = 1 2 ( 2 ) L // L , 2 1 2 1 2 1 p p n n m m ⇐⇒ = = 直线 : L1 直线 : L 2 { 1 , 4 , 0}, s 1 = − r { 0 , 0 , 1}, s 2 = r 0 , s 1 ⋅ s 2 = r r Q , 1 2 s s r r ∴ ⊥ 例如， . 即 L 1 ⊥L 2
江画工太猩院 例3求过点(-3,2,5)且与两平面x-4=3和 2x-y-5z=1的交线平行的直线方程 解设所求直线的方向向量为§={m,n,p, 根据题意知过⊥,§⊥应2, 取§=厉2={-4,3,-1, 所求直线的方程+3y-2_x-5 431
江西理工大学理学院 例3 求过点(−3,2,5)且与两平面x − 4z = 3和 2x − y − 5z = 1的交线平行的直线方程. 解 设所求直线的方向向量为 s = {m, n, p}, r 根据题意知 , n1 sr r ⊥ , n2 sr r ⊥ 取 n1 n2 sr r r = × = {−4,−3,−1}, . 1 5 3 2 4 3 − = − = x + y z 所求直线的方程