江画工太猩院 第九章 曲线积分 与曲面积分
江西理工大学理学院 第九章 曲线积分 与曲面积分
江画工太猩院 第一节 对孤长的曲线积分
江西理工大学理学院 第一节 对弧长的曲线积分
江画工太猩院 一、问题的提出y B LM 实例:曲线形构件的质量 (5,mn)/M 匀质之质量M=ps M A M 分割M,M,",Mn1→A,0 x 取(5,mn)∈△s,MM1≈p(51,n),△, 求和M≈∑,n)△ 近似值 精确值 取极限M=lin∑(5,m)△ i=1
江西理工大学理学院 一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn − 1 Mi Mi− 1 M2 M1 ( , ) ξ i ηi L 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → ∆ s L − ( , ) , i i i 取 ξ η ∈ ∆ s ( , ) . i i i i ∆M ≈ ρ ξ η ⋅ ∆ s 求和 ( , ) . 1 ∑= ≈ ⋅ ∆ n i i i i M ρ ξ η s 取极限 lim ( , ) . 1 0 ∑= → = ⋅ ∆ n i i i i M ρ ξ η s λ 近似值 精确值
二重积分的定义 江画工太猩院 定义:设D是xy面上的有界闭区域, f(x,y)是定义在D上的有界函数, 1、分割:将D任意分成n小闭区域:△σ1,△a2…,△n 2、作乘积:W,m)e△a,f(5,m)a,=12, 3、求和:∑∫(5,m)△G 4、取极限:Iim∑∫(5,m)△1 如果上述极限存在,则称该极限值为函数 f(x,y)在D上的二重积分,记为:』f(x,y
江西理工大学理学院 二重积分的定义 定义： f x y D ， D xoy ， 是定义在 上的有界函数 设 是 面上的有界闭区域 ( , ) 1、分割： 将 D任意分成 n小闭区域 : ∆ σ ∆ σ ∆ σ n , , , 1 2 L 2、作乘积： ( , ) , ∀ ξ i ηi ∈ ∆ σ i f (ξ i ,ηi) ∆ σ i , i = 1 , 2 , L , n 3、求和： ∑ = ∆ n i i i i f 1 (ξ ,η ) σ 4、取极限： ∑ → = ∆ n i i i i f 1 0 lim (ξ ,η ) σ λ 如果上述极限存在，则称该极限值为函数 f ( x , y ) 在 D上的二重积分 , ∫∫ D 记为: f ( x , y ) dσ
二、对狐长的曲线积分的梳念 江画工太猩院 定义:设L是xopy面上的一条光滑曲线弧 f(x,y)是定义在L上的有界函数, 1、分割:将L任意分成n小段:Δs1,△s2,…Asn 2、作乘积:V(,m)e△s, B ∫(5;m)As;i=1,2,…,n LM (5,m) 3、求和:∑f(5,7) M A M 4、取极限:Iim∑∫(5;,7)As →0i=1 如果上述极限存在,则称该极限值为函数∫(x,y) 在L上对弧长的曲线积分,记为:f(x,y
江西理工大学理学院 二、对弧长的曲线积分的概念 定义： 设 L 是xoy面上的一条光滑曲线弧 ， 1、分割： 将 L任意分成 n小段 : n ∆ s , ∆ s , , ∆ s 1 2 L 2、作乘积： ( , ) , i i i ∀ ξ η ∈ ∆ s f (ξ i ,ηi) ∆ si , i = 1 , 2 , L , n 3、求和： ∑ = ∆ n i i i i f s 1 (ξ ,η ) 4、取极限： ∑ → = ∆ n i i i i f s 1 0 lim (ξ ,η ) λ 如果上述极限存在，则称该极限值为函数 在 L上对弧长的曲线积分 , ∫L 记为: f ( x , y )ds f ( x , y )是定义在 L上的有界函数 ， f ( x , y ) o x y A B Mn −1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) ξi ηi L
江画猩工式塑辱院 2存在条件 当f(x,p)在光滑曲线弧L上连续时, 对孤长的曲线积分(x)d存在 3推广 函数∫(x,y,)在空间曲线弧r上对弧长的 曲线积分为 f(x, 1, ) ds=li i2/5,n25)△ λ→04
江西理工大学理学院 2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存在 当 在光滑曲线弧 上连续时 ∫L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函数 f (x, y,z)在空间曲线弧 Γ上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = ∑ f ⋅ ∆s ∫ = Γ → ξ η ζ λ
江画工太猩院 注意 1.若L(或厂是分段光滑的,(L=L1+L2) 1()xy)+x 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为(x,y
江西理工大学理学院 注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或Γ 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 ∫ ∫ ∫ = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) ∫L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函数 在闭曲线 上对弧长的
江画工太猩院 4性质 )JU/()8)d=(xD士8 (2)(x,y)d=kf(x,ys(k为常数) L (3),f(x,y)=,f(x,y)ds+,f(x,y)d. (L=L1+L2
江西理工大学理学院 4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . ∫ ∫ ∫ ± = ± L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). ∫L ∫L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 ∫ ∫ ∫ = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2
江画工太猩院 求下列曲线积分的值 1.L:xoy面上的曲线:x2+y2=4, 则4=16 L 2.L:xm面上的曲线:x2+y2=4, 则 (x2+y2)d=16兀 3.L:连接点(10),(0)的直线段 则∫(x+y)=2
江西理工大学理学院 求下列曲线积分的值 1. : : 4 , 2 2 L xoy面上的曲线 x + y = = ∫L 则 4ds 3. L:连接点 ( 1 , 0), ( 0 , 1 )的直线段 ∫ + = L 则 ( x y )ds 2. : : 4 , 2 2 L xoy面上的曲线 x + y = + = ∫L ( x y )ds 则 2 2 16π 16π 2
江画工太猩院 三、对狐长曲线积分的计算 定理设∫(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为X=(, (a≤t≤)其中 (),y(0)在[a,B上具有一阶连续导数,则 .f(r, yd=co ∫p(,y(lN@()+y(tt a<
江西理工大学理学院 三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2 α β ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ α β α β ψ ϕ β α < = ′ + ′ ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = ∫ ∫ f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 则 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续