江画工太猩院 第四节 线性方程理论、二阶 常系数齐次线性方程
江西理工大学理学院 第四节 线性方程理论、二阶 常系数齐次线性方程
一、概念的引入 王例;设有一弹簧下挂一重物如果使物体具有一个初 王始速度V共(物体便离开平衡位置并在平衡位置 生附近作上下振动试确定物体的振动规律x= 解受力分析 圭 1恢复力∫=-c; 0 2.阻力R=d d x 上页
一、概念的引入 例:设有一弹簧下挂一重物 ,如果使物体具有一个初 始速度 v 0 ≠ 0 ,物体便离开平衡位置 ,并在平衡位置 附近作上下振动 .试确定物体的振动规律 x = x ( t ). 解 受力分析 1 . 恢复力 f = −cx ; 2 . ; dt dx 阻力 R = − µ x x o
F=mm=这- dx+2n+kx=0物体自由振动的微分方程 d t d t 若受到铅直干扰力F= H sin p 下2b+k2x=hsmm强迫振动的方程 d t du E Lc,+2B+Ou= m sin at d t LC 串联电路的振荡方程 下页
QF = ma, , 2 2 dt dx cx dt d x ∴m = − − µ 2 0 2 2 2 + + k x = dt dx n dt d x 物体自由振动的微分方程 若受到铅直干扰力 F = H sin pt, k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 + + = 强迫振动的方程 t LC E u dt du dt d u Lc m c c c 2β ω sinω 2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程
+P(x)+e(x)y=f(r) 二阶线性微分方程 当∫(x)=0时,二阶线性齐次微分方程 当(x)≠时,二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 y+P(x)y)+…+Pn(x)y+P(x)y=∫(x) 上页
二阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 Q x y f x dxdy P x dxd y + + = 当 f (x) = 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f (x) ≠ 0时，二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ( 1) 1 ( ) y P x y P x y P x y f x n n n n + + + − ′ + = − L
王二、线性微分方程的解的结构 1二阶齐次方程解的结构 y"+P(x)y+Q(x)y=0(1) 上定理1如果函数y1(x)与2(x)是方程(的两个 解那末y=C1W1+C22也是1)的解.(C1,C2是常 数) 问题:y=C1n1+C22一定是通解吗? 上页
二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: 定理 1 如果函数 ( ) y 1 x 与 ( ) y 2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是常 数） 问题: y = C1 y 1 + C 2 y 2一定是通解吗？ y′′ + P ( x ) y′ + Q ( x ) y = 0 ( 1 )
平定:设n1,h2…“m为定义在区间内的n个 平函数如果存在n个不全为零的常数,使得当x 在该区间内有恒等式成立 生k+k+…+6=0 王那么称这n个函数在区间内线性相关否则 称线性无关 例如当x∈(-∞,+∞时,e,ex,e2线性无关 2 2 cos r. sin x 线性相关 上页
定义：设 n y , y , , y 1 2 L 为定义在区间I内的n个 函数．如果存在n个不全为零的常数，使得当x 在该区间内有恒等式成立 k1 y1 + k2 y2 +L+ kn yn = 0， 那么称这n个函数在区间I内线性相关．否则 称线性无关 例如 x x 2 2 1，cos , sin x x x e e e 2 , ，− 线性无关 线性相关 当x ∈(−∞, + ∞)时
特别地:若在为(x)≠常数, y2(x) 则函数y(x)与y2(x)在I上线性无关 定理2:如果y(x)与y2(x)是方程(1)的两个线 性无关的特解,那么y=C+C2就是方程 的通解 例如y"+y=0,y=c0sx,y2=sinx, 且=tamx≠常数,y=C;cosx+C2sinx 上页
特别地: 若在 I 上有 ≠ 常数， ( ) ( ) 21 y x y x 则函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 在 I 上线性无关. 定理 2：如果 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 1 1 2 2 y = C y + C y 就是方程(1 的通解. 例如 y′′ + y = 0, cos , sin , y1 = x y2 = x tan , 1 且 2 = x ≠ 常数 y y cos sin . 1 2 y = C x + C x
2.二阶非齐次线性方程的解的结构 定理3设y是二阶非齐次线性方程 y+P(x)y+e(x)y=f(r) (2) 的一个特解,F是与(2)对应的齐次方程()的通解, 那么y=Y+y是二阶非齐次线性微分方程2)的通 解 上页
2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 定理 3 设 * y 是二阶非齐次线性方程 y′′ + P ( x ) y′ + Q ( x ) y = f ( x ) ( 2 ) 的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么 * y = Y + y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通 解
定理4设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函 数之和,如y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)+f(x) 而y与y2分别是方程 y”+P(x)y+Q(x)y=f(x) y"+P(x)y'+2(x)y=f(r) 的特解,那么y1+y1就是原方程的特解 解的叠加原理 上页
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) y′′ + P x y′ + Q x y = f1 x + f 2 x 而 *1 y 与 *2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) y′′ + P x y′ + Q x y = f1 x ( ) ( ) ( ) y′′ + P x y′ + Q x y = f 2 x 的特解, 那么 *2 *1 y + y 就是原方程的特解. 解的叠加原理
王定理5设y=+6是方程 y+P(r)y'+e(x)y=fi(r)+if2(r) (其中P(x),Q(x,fx,/(x)均为实函数) 的解,则y1与y2分别是方程: y+P(x)y+e(x)y=f(r) +P(x)y'+@(x)y=f(x) 的解. 注:对n阶线性微分方程有类似结论 上页
定理 5 设 1 2 y = y + iy 是方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y′′ + P x y′ + Q x y = f x + if x （其中 ( ), ( ), ( ), ( ) 1 2 P x Q x f x f x 均为实函数） 的解，则 1 y 与 2 y 分别是方程： ( ) ( ) ( ) 1 y′′ + P x y′ + Q x y = f x ( ) ( ) ( ) 2 y′′ + P x y′ + Q x y = f x 的解. 注：对n阶线性微分方程有类似结论