江画工太猩院 第5节 无穷小与无穷大 无穷小比较
江西理工大学理学院 第 5 节 无穷小与无穷大 无穷小比较
江画工太猩院 无穷小 1、定义:极限为零的变量称为无穷小 定义1如果对于任意给定的正数E(不论它多么小) 总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式 0X)的一切x,对应的函数值 f(x)都满足不等式∫(x)<E 那末称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小 记作Iim∫(x)=0(或im∫(x)=0 r→0
江西理工大学理学院 一、无穷小 1、定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数 ε(不论它多么小) 总存在正数δ (或正数 X ),使得对于适合不等式 0 X )的一切 x ,对应的函数值 f (x)都满足不等式 f (x) < ε, 那末 称函数 f (x)当x → x0(或x → ∞)时为无穷小 记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 = = → →∞ f x f x x x x 或 极限为零的变量称为无穷小
江画工太猩院 例如, lim sin x=0,∴函数sinx是当x→Q时的无穷小 r→0 im=0,:函数是当x→∞时的无穷小 x→y x im2=0.;数列(是当n→时的无穷小 n>0 注意(1)无穷小是变量不能与很小的数混淆; (2)零是可以作为无穷小的唯一的数
江西理工大学理学院 例如, limsin 0, 0 = → x x Q ∴函数 sin x是当x → 0时的无穷小 . 0, 1 lim = x→∞ x Q . 1 ∴函数 是当x → ∞时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − →∞ n n n Q } . ( 1) 数列{ 是当 → ∞时的无穷小 − ∴ n n n 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数
江画工太猩院 2、无穷小与函数极限的关系: 定理1imf(x)=A台∫(x)=A+0(x x→x0 其中a(x)是当x→x时的无穷小. 证必要性设imf(x)=A,令(x)=f(x)-A, x→x0 则有lima(x)=0,,f(x)=A+a(x) x→x0 充分性设f∫(x)=A+(x), 其中a(x)是当x→x/时的无穷小, A lim f(x)=lim (A+a(x)=A+ lim a(x)=A x→x x→x0 →x
江西理工大学理学院 2、无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 α(x) = f (x) − A, lim ( ) 0, 0 α = → x x x 则有 ∴ f (x) = A + α(x). 充分性 设 f (x) = A + α(x), ( ) , 其中 α x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = + α → → 则 lim ( ) 0 A x x x = + α → = A. 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = ⇔ = + α → 其中α(x)是当x → x0时的无穷小
江画工太猩院 意义(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小; (2)给出了函数∫(x)在x0附近的近似表达 式∫(x)≈A,误差为a(x) 3、无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中有限个无穷小的代数和仍是 无穷小 证设a及β是当x→∞时的两个无穷小, NE>0,N1>0,N2>0,使得
江西理工大学理学院 意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); ( ) , ( ). 2 ( ) 0 f x A x f x x 式 误差为α （ ）给出了函数 在 附近的近似表达 ≈ 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 证 设α及β是当 x → ∞时的两个无穷小 , ∀ ε > 0,∃N1 > 0, N2 > 0,使得
江画工太猩院 当X>N时恒有N时恒有2 取N=max{N,N2,当x>M时,恒有 a土β≤+β<+=, ∴0土β→0(x→) 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如,n→o时,是无穷小, 但n个之和为1不是无穷小
江西理工大学理学院 ; 2 1 ε 当 x > N 时恒有 α N 时恒有 β N时,恒有 α ± β ≤ α + β 2 2ε + ε < = ε, ∴α ± β → 0 (x → ∞) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , → ∞ , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n
江画工太猩院 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 0 证设函数在U(x1,8内有界, 则M>0,81>0,使得当00,382>0,使得当0<x-x0<82时 恒有a<
江西理工大学理学院 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数 在 ( 0 , 1 )内有界， 0 u U x δ . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x ≤ ∃ > δ > ∃δ > < − < δ 恒有 使得当 时
江画工太猩院 取δ=mim{61,82},则当0<x=xn<6时,恒有 8 l·C=l4·<M ∴当x→x时,为无穷小 推论1在同一过程中有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 例如当x时,xsm1, 2 arct1 都是无穷小
江西理工大学理学院 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. min{ , }, 1 2 取 δ = δ δ 则当 0 < x − x0 < δ时,恒有 u ⋅ α = u ⋅ α M M ε < ⋅ = ε, , . ∴当x → x0时 u ⋅ α为无穷小 x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小
江画工太猩院 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 定义2设函数f(x)在x某一去心邻域内有定义(或x 大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数 M(不论它多么大),总存在正数δ(或正数X),使得对于 适合不等式0X)的一切x,对应的 函数值f(x)总满足不等式f(x)>M, 则称函数f(x)当x→x(或x→>∞)时为无穷大记作 im∫(x)=0(或im∫(x)=0)
江西理工大学理学院 二、无穷大 定义 2 设函数 f (x)在x0某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数 M (不论它多么大),总存在正数δ(或正数X ),使得对于 适合不等式0 X )的一切x,对应的 函数值 f (x)总满足不等式 f (x) > M , 则称函数 f (x)当x → x0 (或x → ∞)时为无穷大,记作 lim ( ) ( lim ( ) ). 0 = ∞ = ∞ → →∞ f x f x x x x 或 绝对值无限增大的变量称为无穷大
江画工太猩院 特殊情形:正无穷大,负无穷大 im∫(x)=+(或lim∫(x)=-∞) x→x x→x0 (x→∞) (x→∞) 注意(1)无穷大是变量不能与很大的数混淆; (2)切勿将lim∫(x)=∞认为极限存在, →>x (3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大
江西理工大学理学院 特殊情形：正无穷大，负无穷大． lim ( ) ( lim ( ) ) ( ) ( ) 0 0 = +∞ = −∞ →∞ → →∞ → f x f x x x x x x x 或 注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 2 lim ( ) . 0 （ ）切勿将 = ∞认为极限存在 → f x x x
